Введение

Квантово-механическая система, взаимодействующая с квантово-механической средой.

В физике открытая квантовая система – это квантово-механическая система, взаимодействующая с внешней квантовой системой, известной как окружение или резервуар. Как правило, эти взаимодействия существенно изменяют динамику системы и приводят к квантовой диссипации, в результате чего информация, содержащаяся в системе, теряется для окружения. Поскольку ни одна квантовая система не является полностью изолированной от своего окружения, важно разработать теоретическую базу для описания этих взаимодействий, чтобы получить точное понимание квантовых систем. Методы, разработанные в контексте открытых квантовых систем, оказались эффективными в таких областях, как квантовая оптика, теория квантовых измерений, квантовая статистическая механика, квантовая информатика, квантовая термодинамика, квантовая космология, квантовая биология и полуклассические приближения.

Квантовая система и окружающая среда

Для полного описания квантовой системы необходимо учитывать окружающую среду. Полное описание полученной комбинированной системы, в свою очередь, требует учета ее собственной среды, что приводит к возникновению новой системы, которую можно полностью описать лишь при включении ее среды, и так далее. Конечным результатом этого процесса вложения является состояние всей Вселенной, описываемое волновой функцией. Тот факт, что каждая квантовая система обладает определенной степенью открытости, также означает, что ни одна квантовая система не может находиться в чистом состоянии. Чистое состояние является унитарно эквивалентным основному состоянию при нулевой температуре, что запрещено третьим законом термодинамики. Даже если комбинированная система находится в чистом состоянии и может быть описана волновой функцией, подсистема, как правило, не может быть описана волновой функцией. Это наблюдение послужило основой для формализма матриц плотности, или операторов плотности, введенного Джоном фон Нейманом в 1927 году и независимо, но менее систематически, Львом Ландау в 1927 году и Феликсом Блохом в 1946 году. В общем случае, состояние подсистемы описывается оператором плотности, а ожидаемое значение измеряемой величины – скалярным произведением. Невозможно определить, является ли комбинированная система чистой, основываясь только на знании измеряемых величин подсистемы. В частности, если комбинированная система обладает квантовой запутанностью, состояние подсистемы не является чистым.

Динамика

В общем случае, эволюция во времени замкнутых квантовых систем описывается унитарными операторами, действующими на систему. Однако для открытых систем взаимодействие между системой и ее окружением приводит к тому, что динамику системы нельзя точно описать только с помощью унитарных операторов. Эволюция квантовых систем во времени определяется решением эффективных уравнений движения, также известных как уравнения главных характеристик (мастер-уравнения), которые описывают изменение матрицы плотности, описывающей систему, с течением времени, и динамику наблюдаемых, связанных с системой. Однако, как правило, окружение, которое мы хотим смоделировать как часть нашей системы, очень велико и сложно, что затрудняет, если не делает невозможным, нахождение точных решений мастер-уравнений. Таким образом, теория открытых квантовых систем стремится к экономному описанию динамики системы и ее наблюдаемых. Типичные интересующие наблюдаемые включают в себя такие величины, как энергия и устойчивость квантовой когерентности (то есть мера когерентности состояния). Потеря энергии в окружение называется квантовым диссипацией, а потеря когерентности – квантовой декогеренцией. Из-за сложности определения решений мастер-уравнений для конкретной системы и окружения был разработан ряд методов и подходов. Распространенной целью является получение редуцированного описания, в котором динамика системы рассматривается явно, а динамика окружения описывается неявно. Основное предположение состоит в том, что вся комбинация система-окружение представляет собой большую замкнутую систему. Следовательно, ее эволюция во времени определяется унитарным преобразованием, генерируемым глобальным гамильтонианом. Для комбинированного сценария система-окружение глобальный гамильтониан можно разложить на:

где – гамильтониан системы, – гамильтониан окружения и – взаимодействие система-окружение. Состояние системы можно получить из частного следа по объединенной системе и окружению:
Другое распространенное предположение, используемое для упрощения решения систем, заключается в том, что состояние системы в следующий момент времени зависит только от текущего состояния системы. Иными словами, система не сохраняет память о своих предыдущих состояниях. Системы, обладающие этим свойством, называются марковскими системами. Это приближение оправдано, когда у рассматриваемой системы достаточно времени для релаксации к равновесию до следующего возмущения взаимодействиями с окружением. Для систем, испытывающих очень быстрые или частые возмущения из-за связи с окружением, это приближение становится значительно менее точным.

Немарковские уравнения

Открытые квантовые системы, не обладающие марковским свойством, обычно гораздо сложнее решать. Это во многом связано с тем, что следующее состояние немарковской системы определяется каждым из её предыдущих состояний, что быстро увеличивает требования к памяти для вычисления эволюции системы. В настоящее время методы решения этих систем используют так называемые методы оператора проекции. Эти методы используют оператор проекции, который эффективно применяет операцию взятия следа по окружающей среде, как описано ранее. Результат применения к (то есть вычисления ) называется релевантной частью . Для полноты определяется другой оператор так, что , где – единичная матрица. Результат применения к (то есть вычисления ) называется нерелевантной частью . Основная цель этих методов – вывести главное уравнение, определяющее эволюцию . Один из таких выводов, использующий метод оператора проекции, приводит к уравнению Накадзимы — Цванцига. Этот вывод подчеркивает проблему нелокальности во времени редуцированной динамики:

Здесь влияние резервуара на протяжении всей эволюции системы скрыто в ядре памяти. Хотя уравнение Накадзимы — Цванцига является точным уравнением, справедливым для большинства открытых квантовых систем и сред, его может быть очень трудно решить. Это означает, что обычно необходимо вводить приближения для уменьшения сложности задачи до более управляемой. Например, для получения уравнения, локального во времени, требуется предположение о быстром резервуаре. Другие примеры допустимых приближений включают приближение слабого взаимодействия и приближение единичного взаимодействия. В некоторых случаях метод оператора проекции можно использовать для уменьшения зависимости следующего состояния системы от всех её предыдущих состояний. Этот подход к открытым квантовым системам известен как метод оператора проекции без свёртки по времени и используется для получения главных уравнений, которые по своей сути локальны во времени. Поскольку эти уравнения могут пренебрегать большей частью истории системы, их часто легче решить, чем уравнение Накадзимы — Цванцига. Другой подход является аналогом классической теории диссипации, разработанной Рёго Кубо и Я. Танимурой. Этот подход связан с иерархическими уравнениями движения, которые встраивают оператор плотности в более широкое пространство вспомогательных операторов, так что для всего набора получается уравнение, локальное во времени, а память содержится во вспомогательных операторах.