Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Геометрическая фигура, образованная тремя квадратами.
Геометрическая фигура
Geometric shape formed from three squares
the geometric shape
Тромино или триомино — это полиомино третьего порядка, то есть многоугольник на плоскости, состоящий из трех квадратов одинакового размера, соединенных сторонами.
A tromino or triomino is a polyomino of size 3, that is, a polygon in the plane made of three equal sized squares connected edge to edge.
Симметрия и перечисление
Когда вращения и отражения не рассматриваются как различные фигуры, существует только два различных свободных тромино: "I" и "L" (форма "L" также называется "V"). Поскольку оба свободных тромино обладают зеркальной симметрией, они же являются единственными двумя односторонними тромино (тромино, где отражения считаются различными фигурами). Если же учитывать вращения как различные фигуры, то существует шесть фиксированных тромино: две "I" и четыре "L"-образные. Их можно получить, поворачивая вышеуказанные формы на 90°, 180° и 270°.
When rotations and reflections are not considered to be distinct shapes, there are only two different free trominoes: "I" and "L" (the "L" shape is also called "V"). Since both free trominoes have reflection symmetry, they are also the only two one sided trominoes (trominoes with reflections considered distinct). When rotations are also considered distinct, there are six fixed trominoes: two I and four L shapes. They can be obtained by rotating the above forms by 90°, 180° and 270°.
Рептилинг и теорема тромино Голомба
Оба типа тромино можно разделить на n² меньших тромино того же типа для любого целого числа n > 1. То есть, они являются рептилиями. Продолжение этого деления рекурсивно приводит к замощению плоскости, которое во многих случаях является апериодическим замощением. В этом контексте L-тромино называют «стулом», а замощение, полученное рекурсивным делением на четыре меньших L-тромино, называется «замощением стульями». Вдохновлённый задачей об изувеченной шахматной доске, Соломон В. Голомб использовал это замощение в качестве основы для того, что стало известно как теорема Голомба о тромино: если из шахматной доски размером 2ⁿ × 2ⁿ удалить любой квадрат, оставшуюся доску можно полностью покрыть L-тромино. Чтобы доказать это методом математической индукции, разделите доску на четверть доски размером 2ⁿ⁻¹ × 2ⁿ⁻¹, содержащую удалённый квадрат, и большое тромино, образованное тремя другими четвертями доски. Это тромино можно рекурсивно разделить на тромино единичного размера, а деление четверти доски с удалённым квадратом следует из гипотезы индукции. В отличие от этого, если из шахматной доски такого размера удалить одно поле, не всегда возможно покрыть оставшиеся поля I-тромино.
Both types of tromino can be dissected into n2 smaller trominos of the same type, for any integer n > 1. That is, they are rep tiles. Continuing this dissection recursively leads to a tiling of the plane, which in many cases is an aperiodic tiling. In this context, the L tromino is called a chair, and its tiling by recursive subdivision into four smaller L trominos is called the chair tiling. Motivated by the mutilated chessboard problem, Solomon W. Golomb used this tiling as the basis for what has become known as Golomb's tromino theorem: if any square is removed from a 2n × 2n chessboard, the remaining board can be completely covered with L trominoes. To prove this by mathematical induction, partition the board into a quarter board of size 2n−1 × 2n−1 that contains the removed square, and a large tromino formed by the other three quarter boards. The tromino can be recursively dissected into unit trominoes, and a dissection of the quarter board with one square removed follows by the induction hypothesis. In contrast, when a chessboard of this size has one square removed, it is not always possible to cover the remaining squares by I trominoes.