Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үш квадраттан түзілген геометриялық пішін. Геометриялық пішін.
Geometric shape formed from three squares
the geometric shape
Тромино немесе триомино – үш бірдей өлшемдегі квадраттардың қабырғаларымен біріккен, жазықтықта жасалған полиоминоның 3-тен тұратын түрі, яғни көпбұрыш.
A tromino or triomino is a polyomino of size 3, that is, a polygon in the plane made of three equal sized squares connected edge to edge.
Симметрия және санау
Ойналулар мен көшулер ерекше пішін деп есептелмесе, бар болғаны екі түрлі еркін тромино болады: "I" және "L" ("L" пішіні "V" деп те аталады). Екі еркін троминоның да көшу симметриясы болғандықтан, олар бір жақты троминолардың (көшулер ерекше саналатын троминолардың) жалғыз екеуі болып табылады. Ойналулар да ерекше деп есептелгенде, алты бекітілген тромино болады: екі "I" және төрт "L" пішіні. Оларды жоғарыда көрсетілген пішінлерді 90°, 180° және 270° бұру арқылы алуға болады.
When rotations and reflections are not considered to be distinct shapes, there are only two different free trominoes: "I" and "L" (the "L" shape is also called "V"). Since both free trominoes have reflection symmetry, they are also the only two one sided trominoes (trominoes with reflections considered distinct). When rotations are also considered distinct, there are six fixed trominoes: two I and four L shapes. They can be obtained by rotating the above forms by 90°, 180° and 270°.
Реп-тиллинг және Голомбтың тромино теоремасы
Тромноның екі түрі де, n > 1 кез келген бүтін сан үшін, n² кіші тромноға бөліне алады. Яғни, олар реп-плиткалар. Мұндай дисекцияны рекурсивті жалғастыру жазықтықтың плиткасына алып келеді, және бұл көп жағдайларда апериодтық плитка болады. Осы контексте L-тромносы "кресло" деп аталады, ал оның рекурсивті бөліну арқылы төрт кіші L-тромноға бөлінуі "кресло плиткасы" деп аталады. Шахмат тақтасының қирауы мәселесіне байланысты, Соломон В. Голомб осы плитканы Голомбтың тромно теоремасы деп белгілі болған теореманың негізі ретінде пайдаланды: егер 2ⁿ × 2ⁿ шахмат тақтасынан кез келген бір квадрат алынып тасталса, қалған тақта L-тромноларымен толығымен жабылуы мүмкін. Бұл теореманы математикалық индукция арқылы дәлелдеу үшін, тақта алынып тасталған квадратты қамтитын 2ⁿ⁻¹ × 2ⁿ⁻¹ өлшемді бір төрттен бір бөлікке және қалған үш төрттен бір бөліктен құралған үлкен тромноға бөлінеді. Тромно рекурсивті түрде бірлік тромноларға бөлінеді, ал бір квадрат алынып тасталған төрттен бір бөліктің дисекциясы индукция гипотезасы бойынша жүзеге асырылады. Керісінше, осындай өлшемдегі шахмат тақтасынан бір квадрат алынып тасталғанда, қалған квадраттарды I-тромноларымен жабу әрқашан мүмкін болмайды.
Both types of tromino can be dissected into n2 smaller trominos of the same type, for any integer n > 1. That is, they are rep tiles. Continuing this dissection recursively leads to a tiling of the plane, which in many cases is an aperiodic tiling. In this context, the L tromino is called a chair, and its tiling by recursive subdivision into four smaller L trominos is called the chair tiling. Motivated by the mutilated chessboard problem, Solomon W. Golomb used this tiling as the basis for what has become known as Golomb's tromino theorem: if any square is removed from a 2n × 2n chessboard, the remaining board can be completely covered with L trominoes. To prove this by mathematical induction, partition the board into a quarter board of size 2n−1 × 2n−1 that contains the removed square, and a large tromino formed by the other three quarter boards. The tromino can be recursively dissected into unit trominoes, and a dissection of the quarter board with one square removed follows by the induction hypothesis. In contrast, when a chessboard of this size has one square removed, it is not always possible to cover the remaining squares by I trominoes.