Введение

Плоская поверхность

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная поверхность, простирающаяся неограниченно во всех направлениях. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства. Типичным примером служит стена комнаты, бесконечно расширенная и считающаяся бесконечно тонкой. Хотя для описания точек на плоскости достаточно пары действительных чисел, отношение к точкам, лежащим вне плоскости, требует особого рассмотрения при их вложении в окружающее пространство.

Производные понятия

Плоскостной сегмент (или просто "плоскость" в обиходе) — это область на плоской поверхности; он аналогичен отрезку прямой. Бивектор — это ориентированный плоскостной сегмент, аналогичный направленным отрезкам прямой. Грань — это плоскостной сегмент, ограничивающий твердое тело. Плита — это область, ограниченная двумя параллельными плоскостями. Параллелепипед — это область, ограниченная тремя парами параллельных плоскостей.

Природная природа

Плоскость служит математической моделью для многих физических явлений, таких как зеркальное отражение в плоском зеркале или волновые фронты в распространяющейся плоской волне. Свободная поверхность неподвижной жидкости стремится быть почти плоской (см. плоскостность). Самая плоская поверхность, когда-либо созданная, – это квантово стабилизированное атомное зеркало. В астрономии различные опорные плоскости используются для определения положений на орбите. В анатомии различают боковые ("сагиттальные"), лобные ("корональные") и поперечные плоскости. В геологии слои (пласты) отложений часто имеют плоскую форму. Плоскости вовлечены в различные методы визуализации, такие как фокальная плоскость, плоскость изображения и плоскость снимка.

Предыстория

Евклид представил первую великую веху математической мысли – аксиоматическое изложение геометрии. Он выделил небольшое ядро неопределённых терминов (называемых общими понятиями) и постулатов (или аксиом), которые затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя плоскость в её современном понимании нигде в «Началах» не определяется напрямую, её можно рассматривать как часть общих понятий. Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Евклидова плоскость, снабжённая выбранной декартовой системой координат, называется декартовой плоскостью; евклидова плоскость, не использующая декартову систему координат и снабжённая полярной системой координат, называется полярной плоскостью. Плоскость является развиваемой поверхностью.

Представительство

В данном разделе речь пойдет исключительно о плоскостях, заданных в трехмерном пространстве, а именно в R³ (R в кубе).

Описание плоскости через три точки

Пусть 1='p'1 = (x1, y1, z1), 1='p'2 = (x2, y2, z2) и 1='p'3 = (x3, y3, z3) — не лежащие на одной прямой точки.

Метод 3

Эту плоскость также можно описать, используя определение "точка и нормальный вектор", представленное выше. Подходящий нормальный вектор задается векторным произведением, а точка r₀ может быть принята за любую из заданных точек p₁, p₂ или p₃ (или любую другую точку, лежащую в плоскости).