Введение
В теории узлов тороидальный узел — это особый вид узла, лежащий на поверхности тора в трехмерном пространстве R3. Аналогично, тороидальная цепь — это цепь, лежащая на поверхности тора таким же образом. Каждый тороидальный узел задается парой взаимно простых целых чисел p и q. Тороидальная цепь возникает, если p и q не являются взаимно простыми (в этом случае число компонент равно НОД(p, q)). Тороидальный узел тривиален (эквивалентен тривиальному узлу) тогда и только тогда, когда p или q равно 1 или -1. Самый простой нетривиальный пример — тороидальный узел (2,3), также известный как трефольный узел.
In knot theory, a torus knot is a special kind of knot that lies on the surface of an unknotted torus in R3. Similarly, a torus link is a link which lies on the surface of a torus in the same way. Each torus knot is specified by a pair of coprime integers p and q. A torus link arises if p and q are not coprime (in which case the number of components is gcd(p, q)). A torus knot is trivial (equivalent to the unknot) if and only if either p or q is equal to 1 or −1. The simplest nontrivial example is the (2,3) torus knot, also known as the trefoil knot.
Подключение к сложным гиперповерхностям
Узлы (p,q)-тора возникают при рассмотрении связности изолированной комплексной гиперповерхностной сингулярности. Комплексную гиперповерхность пересекают гиперсферой, центрированной в изолированной сингулярной точке, и с достаточно малым радиусом, чтобы она не заключала и не пересекала другие сингулярные точки. Пересечение дает подмногообразие гиперсферы. Пусть p и q – взаимно простые целые числа, большие или равные двум. Рассмотрим голоморфную функцию, заданную функцией. Пусть – множество точек, таких что. При заданном вещественном числе мы определяем вещественную трехсферу как Функция имеет изолированную критическую точку в потому что тогда и только тогда, когда. Таким образом, мы рассматриваем структуру вблизи точки. Для этого мы рассматриваем пересечение. Это пересечение является так называемой связностью сингулярности. Связность , где p и q взаимно просты, и оба больше или равны двум, является точно (p,q)-узлом тора.
g-торный узел
Узел g-тора — это замкнутая кривая, нарисованная на g-торе. Более технически, это гомеоморфное отображение окружности в S³ , которое может быть реализовано как подмножество тела рода g в S³ (комплемент которого также является телом рода g). Если зацепление является подмножеством тела рода два, то это двойное торусное зацепление. Для рода два, простейшим примером двойного торусного узла, который не является торусным узлом, является узел восьмерки.