Введение

В математике, комодуль или сопредставление — это понятие, двойственное модулю. Определение комодуля над коалгеброй формируется путем двойственного преобразования определения модуля над ассоциативной алгеброй.

Примеры

Коальгебра — это комодуль над собой. Если M — конечномерный модуль над конечномерной K-алгеброй A, то множество линейных функционалов из A в K образует коальгебру, а множество линейных функционалов из M в K образует комодуль над этой коальгеброй. Градуированное векторное пространство V можно превратить в комодуль. Пусть I — индексное множество для градуированного векторного пространства, и пусть — векторное пространство с базисом для . Преобразуем в коальгебру, а V — в -комодуль следующим образом: Пусть коумножение на задано Пусть коединица на задана Пусть отображение на V задано , где — i-я однородная компонента .

В алгебраической топологии

Одним из важных результатов в алгебраической топологии является тот факт, что гомология над двойной алгеброй Стинрода образует комодуль. Это связано с тем, что алгебра Стинрода имеет каноническое действие на кохомологии. При дуализации к двойной алгебре Стинрода возникает структура комодуля. Этот результат распространяется и на другие теории кохомологии, такие как комплексный кобордизм, и является ключевым инструментом при вычислении кольца ее кохомологий. Основная причина рассмотрения комодульной структуры на гомологии, а не модульной структуры на кохомологии, заключается в том, что двойная алгебра Стинрода является коммутативным кольцом, а аппарат коммутативной алгебры предоставляет больше средств для изучения ее структуры.

Рациональный комодуль

Если M является (правым) комодулем над коалгеброй C, то M является (левым) модулем над двойственной алгеброй C∗, но обратное, как правило, неверно: модуль над C∗ не обязательно является комодулем над C. Рациональный комодуль — это модуль над C∗, который естественным образом становится комодулем над C.