Введение

Концепция описательной теории множеств

В математической области описательной теории множеств подмножество польского пространства называется проективным, если оно Σ¹ⁿ или Π¹ⁿ для некоторого положительного целого числа n. Здесь Σ¹ⁿ означает, что множество аналитическое, а Π¹ⁿ означает, что дополнение к множеству, ⁻¹, аналитическое. Также, это означает, что существует польское пространство X и подмножество Y ⊆ X × Z, такое что множество является проекцией Y на Z; то есть,

Выбор польского пространства X в третьем пункте выше не имеет большого значения; его можно заменить в определении фиксированным неисчислимым польским пространством, например, пространством Байра, пространством Кантора или множеством действительных чисел.

Отношение к аналитической иерархии

Существует тесная связь между релятивизированной аналитической иерархией на подмножествах пространства Бейра (обозначаемой светлыми буквами и ) и проективной иерархией на подмножествах пространства Бейра (обозначаемой жирными буквами и ). Не каждое подмножество пространства Бейра является . Однако, если подмножество X пространства Бейра является , то существует множество натуральных чисел A, такое что X является -определимым относительно A. Аналогичное утверждение верно для -множеств. Таким образом, множества, классифицируемые проективной иерархией, являются ровно теми множествами, которые классифицируются релятивизированной версией аналитической иерархии. Эта связь важна в эффективной дескриптивной теории множеств. С точки зрения определимости, множество вещественных чисел является проективным тогда и только тогда, когда оно определимо на языке арифметики второго порядка с некоторым вещественным параметром. Аналогичная связь между проективной иерархией и релятивизированной аналитической иерархией имеет место для подмножеств пространства Кантора и, в более общем смысле, подмножеств любого эффективного польского пространства.