Введение

Многообразие размерности 3, оснащенное гиперболической метрикой. В математике, точнее в топологии и дифференциальной геометрии, гиперболическое 3-многообразие — это многообразие размерности 3, оснащенное гиперболической метрикой, то есть римановой метрикой, у которой все сеченияльные кривизны равны −1. Обычно требуется, чтобы эта метрика также была полной: в этом случае многообразие может быть реализовано как фактор трехмерного гиперболического пространства по дискретной группе изометрий (группе Клейна). Гиперболические 3-многообразия конечного объема имеют особое значение в трехмерной топологии, что следует из гипотезы геометризации Турстона, доказанной Перельманом. Изучение клейнианских групп также является важной темой в геометрической теории групп.

Значение в топологии

Гиперболическая геометрия является самой богатой и наименее изученной из восьми геометрий в трехмерном пространстве (например, для всех остальных геометрий несложно дать явный перечень многообразий конечного объема с этой геометрией, в то время как для гиперболических многообразий это далеко не так). После доказательства гипотезы геометризации понимание топологических свойств гиперболических трехмерных многообразий становится одной из главных целей трехмерной топологии. Недавние прорывы Ка́на — Ма́рковича, Уайза, А́гола и других ответили на большинство давних открытых вопросов в этой области, но все еще остается много менее известных вопросов, которые не решены. В двумерном пространстве почти все замкнутые поверхности гиперболические (все, кроме сферы, проективной плоскости, тора и бутылки Кляйна). В трехмерном пространстве это не так: существует множество способов построить бесконечно много незамкнутых многообразий, не являющихся гиперболическими. С другой стороны, эвристическое утверждение о том, что «обобщенное трехмерное многообразие стремится быть гиперболическим», подтверждается во многих контекстах. Например, любой узел, который не является спутниковым или торовым, является гиперболическим. Более того, почти все операции Дена на гиперболическом узле приводят к гиперболическому многообразию. Аналогичный результат справедлив для зацеплений (теорема Тёрстона об гиперболической операции Дена), и поскольку все трехмерные многообразия получаются как результат операций над зацеплением на трехмерной сфере, это придает более точный смысл неформальному утверждению. Еще один аспект, в котором «почти все» многообразия в трехмерном пространстве являются гиперболическими, — это случайные модели. Например, случайные разбиения Хигара рода не менее 2 почти наверняка гиперболические (при стремлении сложности карты склеивания к бесконечности). Важность гиперболической геометрии трехмерного многообразия для его топологии также обусловлена теоремой о жесткости Мосто́ва, которая утверждает, что гиперболическая структура гиперболического трехмерного многообразия конечного объема однозначно определяется его типом гомотопии. В частности, геометрические инварианты, такие как объем, могут быть использованы для определения новых топологических инвариантов.

Геометрически конечные коллекторы

Толстая тонкая декомпозиция справедлива для всех гиперболических 3-многообразий, хотя в общем случае тонкая часть не описывается выше. Гиперболическое 3-многообразие называется геометрически конечным, если оно содержит выпуклое подмногообразие (его выпуклое ядро), на которое оно стягивается, и чья толстая часть компактна (стоит отметить, что все многообразия имеют выпуклое ядро, но в общем случае оно не компактно). Самый простой случай – когда многообразие не имеет "куспов" (то есть фундаментальная группа не содержит параболических элементов), в этом случае многообразие геометрически конечно тогда и только тогда, когда оно является факторпространством замкнутого, выпуклого подмножества гиперболического пространства по группе, действующей кокомпактно на этом подмножестве.

Клеяние идеальных тетраэдров и гиперболическая хирургия Дена

При предыдущей конструкции полученные многообразия всегда компактны. Для получения многообразий с куспидами необходимо использовать политопы, имеющие идеальные вершины (то есть вершины, лежащие на сфере в бесконечности). В этом случае конструкция склеивания не всегда приводит к полному многообразию. Полнота определяется системой уравнений, включающей двугранные углы вокруг ребер, прилегающих к идеальной вершине, которые обычно называют уравнениями склеивания Турстона. Если склеивание полное, то идеальные вершины становятся куспидами в многообразии. Примером некомпактного многообразия конечного объема, полученного таким образом, является многообразие Гизекинга, которое строится путем склеивания граней правильного идеального гиперболического тетраэдра. Также возможно построить полное гиперболическое многообразие конечного объема, когда склеивание не является полным. В этом случае завершение полученного метрического пространства представляет собой многообразие с тороидальной границей, и при некоторых (необщих) условиях можно приклеить гиперболический твердый тор к каждой компоненте границы так, чтобы полученное пространство имело полную гиперболическую метрику. Топологически, многообразие получается в результате гиперболической операции Дена на полном гиперболическом многообразии, которое получилось бы при полном склеивании. Неизвестно, можно ли таким образом построить все гиперболические 3-многообразия конечного объема. Однако на практике именно так вычислительное программное обеспечение (такое как SnapPea или Regina) хранит гиперболические многообразия.

Арифметические конструкции

Построение арифметических групп Клейнина из кватернионных алгебр порождает особенно интересные гиперболические многообразия. С другой стороны, они в некотором смысле "редки" среди гиперболических трехмерных многообразий (например, гиперболическая операция Дена на заданном многообразии приводит к неарифметическому многообразию почти для всех значений параметров).

Теорема гиперболизации

В отличие от явных построений, описанных выше, можно вывести существование полной гиперболической структуры на 3-многообразии, основываясь исключительно на топологической информации. Это является следствием гипотезы геометризации и может быть сформулировано следующим образом (утверждение, иногда называемое «теоремой гиперболизации», доказанной Турстоном в частном случае многообразий Хакена):

Если компактное 3-многообразие с торической границей является неразложимым и алгебраически атораидальным (то есть любой инъективно погруженный тор гомотопичен компоненте границы), то его внутренняя часть допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Частным случаем является расслоение над окружностью: такие многообразия всегда неразложимы и допускают полную гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда монодромия является псевдо-Аносовским отображением. Другим следствием гипотезы геометризации является то, что любое замкнутое 3-многообразие, допускающее риманову метрику с отрицательной секционной кривизной, на самом деле допускает риманову метрику с постоянной секционной кривизной 1. Это неверно в более высоких размерностях.

Геометрическая конвергенция

Последовательность клейнианских групп называется геометрически сходящейся, если она сходится в топологии Шабо. Для многообразий, полученных как факторпространства, это эквивалентно их сходимости в метрике Громова-Гаусдорфа с выделенной точкой.

Теория Йоргенсена и Тёрстона

Гиперболический объем может быть использован для упорядочения пространства всех гиперболических многообразий. Множество многообразий, соответствующих заданному объему, конечно, а множество объемов хорошо упорядочено и имеет порядок типа. Более точно, гиперболическая теорема о хирургии Дена Тёрстона подразумевает, что многообразие с куспидами является пределом последовательности многообразий с куспидами для любого , так что изолированные точки соответствуют объемам компактных многообразий, многообразия с ровно одним куспидом являются пределами компактных многообразий, и так далее. Вместе с результатами Йоргенсена теорема также доказывает, что любая сходящаяся последовательность должна быть получена посредством хирургий Дена на предельном многообразии.

Квази-фуксианские группы

Последовательности квазифуксианских групп поверхности заданного рода могут сходиться к двойственно вырожденной группе поверхности, как это описано в теореме о двойном пределе.