Операция Дейна: Модификация трехмерных топологических пространств

Введение

Операция, используемая для модификации трехмерных топологических пространств. В топологии, ветви математики, операция Дена, названная в честь Макса Дена, — это конструкция, применяемая для изменения 3-многообразий. Процесс принимает на вход 3-многообразие вместе с запутанностью. Его часто рассматривают как два этапа: высверливание, а затем заполнение.

Определения

Данное 3-многообразие и зацепление, 3-многообразие, проделанное вдоль зацепления, получается путем удаления открытой трубчатой окрестности зацепления из . Если , то проделанное многообразие имеет граничных компонент тора. 3-многообразие, проделанное вдоль зацепления, также известно как дополнение к зацеплению, поскольку, если удалить соответствующую замкнутую трубчатую окрестность из , то получится многообразие, дифеоморфное к . Данному 3-многообразию, граница которого состоит из 2 торов, можно приклеить один твердый тор посредством гомеоморфизма (соответственно, диффеоморфизма) его границы к каждой из граничных компонент тора исходного 3-многообразия. Существует множество неэквивалентных способов сделать это в общем случае. Этот процесс называется заполнением Дена. Хирургия Дена на 3-многообразии, содержащем зацепление, состоит в проделывании трубчатой окрестности зацепления вместе с заполнением Дена на всех компонентах границы, соответствующих зацеплению. Для описания хирургии Дена выбираются две ориентированные простые замкнутые кривые и на соответствующем граничном торе проделанного 3-многообразия, где — меридиан (кривая, лежащая в маленьком шаре и имеющая число связности +1 с или, эквивалентно, кривая, ограничивающая диск, пересекающий компонент один раз) и — лонгитуда (кривая, проходящая один раз вдоль или, эквивалентно, кривая на , такая что алгебраическое пересечение равно +1). Кривые и порождают фундаментальную группу тора и образуют базис его первой группы гомологии. Это дает любой простой замкнутой кривой на торе две координаты и , такие что Эти координаты зависят только от класса гомотопии . Мы можем задать гомеоморфизм границы твердого тора в , отображая меридианную кривую твердого тора в кривую, гомотопическую к . До тех пор, пока меридиан отображается в наклон хирургии, полученная хирургия Дена даст 3-многообразие, которое не будет зависеть от конкретного склеивания (с точностью до гомеоморфизма). Отношение называется коэффициентом хирургии . В случае зацеплений в 3-сфере или, более общо, в ориентированной интегральной сфере гомологии существует канонический выбор лонгитуд: каждая лонгитуда выбирается так, чтобы она была гомологически нулевой в дополнении к зацеплению, — эквивалентно, если она является границей поверхности Зейферта. Когда отношения все являются целыми числами (обратите внимание, что это условие не зависит от выбора лонгитуд, поскольку оно соответствует новым меридианам, пересекающимся ровно один раз со старыми меридианами), хирургия называется интегральной хирургией. Такие хирургии тесно связаны с ручками, кобордизмом и функциями Морса.

Given a 3 manifold and a link , the manifold drilled along is obtained by removing an open tubular neighborhood of from If , the drilled manifold has torus boundary components The manifold drilled along is also known as the link complement, since if one removed the corresponding closed tubular neighborhood from , one obtains a manifold diffeomorphic to Given a 3 manifold whose boundary is made of 2 tori , we may glue in one solid torus by a homeomorphism (resp. diffeomorphism) of its boundary to each of the torus boundary components of the original 3 manifold. There are many inequivalent ways of doing this, in general. This process is called Dehn filling. Dehn surgery on a 3 manifold containing a link consists of drilling out a tubular neighbourhood of the link together with Dehn filling on all the components of the boundary corresponding to the link. In order to describe a Dehn surgery, one picks two oriented simple closed curves and on the corresponding boundary torus of the drilled 3 manifold, where is a meridian of (a curve staying in a small ball in and having linking number +1 with or, equivalently, a curve that bounds a disc that intersects once the component ) and is a longitude of (a curve travelling once along or, equivalently, a curve on such that the algebraic intersection is equal to +1). The curves and generate the fundamental group of the torus , and they form a basis of its first homology group. This gives any simple closed curve on the torus two coordinates and , so that These coordinates only depend on the homotopy class of
We can specify a homeomorphism of the boundary of a solid torus to by having the meridian curve of the solid torus map to a curve homotopic to As long as the meridian maps to the surgery slope , the resulting Dehn surgery will yield a 3 manifold that will not depend on the specific gluing (up to homeomorphism). The ratio is called the surgery coefficient of
In the case of links in the 3 sphere or more generally an oriented integral homology sphere, there is a canonical choice of the longitudes : every longitude is chosen so that it is null homologous in the knot complement—equivalently, if it is the boundary of a Seifert surface. When the ratios are all integers (note that this condition does not depend on the choice of the longitudes, since it corresponds to the new meridians intersecting exactly once the ancient meridians), the surgery is called an integral surgery. Such surgeries are closely related to handlebodies, cobordism and Morse functions.

Примеры

Если все коэффициенты хирургии бесконечны, то каждый новый меридиан гомотопен древнему меридиану. Следовательно, тип гомеоморфизма многообразия не изменяется хирургией. Если – 3-сфера, – тривиальный узел, а коэффициент хирургии равен , то полученное 3-многообразие является . Если – 3-сфера, – тривиальный узел, а коэффициент хирургии равен , то полученное 3-многообразие является пространством линз. В частности, если коэффициент хирургии имеет вид , то полученное 3-многообразие по-прежнему является 3-сферой. Если – 3-сфера, – правый трефольный узел, а коэффициент хирургии равен , то полученное 3-многообразие является пространством Пуанкаре.

Результаты

Каждый замкнутый, ориентируемый, связный трёхмерный многообраз может быть получен выполнением хирургии Дена по зацеплению на трёхмерной сфере. Этот результат, теорема Ликориша — Уоллеса, был впервые доказан Эндрю Х. Уоллесом в 1960 году и независимо от него В. Б. Р. Ликоришем в более сильной форме в 1962 году. В силу хорошо известной связи между истинной хирургией и кобордизмом, этот результат эквивалентен теореме о том, что ориентированная группа кобордизмов трёхмерных многообразий тривиальна, теореме, первоначально доказанной Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1951 году. Поскольку ориентируемые трёхмерные многообразия могут быть все сгенерированы соответствующим образом украшенными зацеплениями, возникает вопрос о том, как могут быть связаны различные хирургические представления данного трёхмерного многообразия. Ответ на этот вопрос — это "калькулус Кирби".