Гномоническая проекция сферы на плоскость

Введение

Проекция сферы через центр на плоскость

Гномоническая проекция, также известная как центральная проекция или прямолинейная проекция, представляет собой перспективную проекцию сферы, с центром проекции в центре сферы, на любую плоскость, не проходящую через центр, чаще всего на тангенциальную плоскость. При гномонической проекции каждый большой круг на сфере проецируется на прямую линию в плоскости (большой круг — это геодезическая на сфере, кратчайший путь между любыми двумя точками, аналогичный прямой линии на плоскости). В более общем виде гномоническую проекцию можно применить к любой n-мерной гиперсфере на гиперплоскость. Проекция является n-мерным обобщением тригонометрической функции тангенса, которая отображает окружность на прямую линию, и, как и тангенс, каждая пара антиподальных точек на сфере проецируется в одну точку в плоскости, в то время как точки на плоскости, проходящей через центр сферы и параллельной плоскости изображения, проецируются в точки на бесконечности; часто проекция рассматривается как взаимно однозначное соответствие между точками в полушарии и точками в плоскости, в этом случае любая конечная часть плоскости изображения представляет собой часть полушария. Гномоническая проекция является азимутальной (радиально симметричной). В центре проецируемого изображения не происходит искажения формы, но искажение быстро возрастает по мере удаления от него. Гномоническая проекция возникла в астрономии для построения солнечных часов и картографирования небесной сферы. Она широко используется в качестве географической картографической проекции и может быть удобна в навигации, поскольку курсы по большим кругам изображаются прямыми линиями. Прямолинейные объективы создают перспективную проекцию мира на плоскость изображения; это можно рассматривать как гномоническую проекцию сферы изображения (абстрактная сфера, указывающая направление каждого луча, проходящего через камеру, смоделированную как отверстие). Гномоническая проекция используется в кристаллографии для анализа ориентации линий и плоскостей кристаллических структур. Она используется в структурной геологии для анализа ориентации плоскостей разломов. В компьютерной графике и компьютерном представлении сферических данных кубическое отображение представляет собой гномоническую проекцию сферы изображения на шесть граней куба. В математике пространство ориентаций ненаправленных линий в трехмерном пространстве называется вещественной проективной плоскостью и обычно изображается либо «проективной сферой», либо ее гномонической проекцией. Когда угол между линиями используется в качестве меры расстояния, это пространство называется эллиптической плоскостью. Гномоническая проекция 3-сферы единичных кватернионов, точки которой представляют собой 3-мерные вращения, дает векторы Родригеса. Гномоническая проекция гиперболоида двухполостного, рассматриваемого как модель для гиперболической плоскости, называется моделью Бельтрами — Клейна.

A gnomonic projection, also known as a central projection or rectilinear projection, is a perspective projection of a sphere, with center of projection at the sphere's center, onto any plane not passing through the center, most commonly a tangent plane. Under gnomonic projection every great circle on the sphere is projected to a straight line in the plane (a great circle is a geodesic on the sphere, the shortest path between any two points, analogous to a straight line on the plane). More generally, a gnomonic projection can be taken of any n dimensional hypersphere onto a hyperplane. The projection is the n dimensional generalization of the trigonometric tangent which maps from the circle to a straight line, and as with the tangent, every pair of antipodal points on the sphere projects to a single point in the plane, while the points on the plane through the sphere's center and parallel to the image plane project to points at infinity; often the projection is considered as a one to one correspondence between points in the hemisphere and points in the plane, in which case any finite part of the image plane represents a portion of the hemisphere. The gnomonic projection is azimuthal (radially symmetric). No shape distortion occurs at the center of the projected image, but distortion increases rapidly away from it. The gnomonic projection originated in astronomy for constructing sundials and charting the celestial sphere. It is commonly used as a geographic map projection, and can be convenient in navigation because great circle courses are plotted as straight lines. Rectilinear photographic lenses make a perspective projection of the world onto an image plane; this can be thought of as a gnomonic projection of the image sphere (an abstract sphere indicating the direction of each ray passing through a camera modeled as a pinhole). The gnomonic projection is used in crystallography for analyzing the orientations of lines and planes of crystal structures. It is used in structural geology for analyzing the orientations of fault planes. In computer graphics and computer representation of spherical data, cube mapping is the gnomonic projection of the image sphere onto six faces of a cube. In mathematics, the space of orientations of undirected lines in 3 dimensional space is called the real projective plane, and is typically pictured either by the "projective sphere" or by its gnomonic projection. When the angle between lines is imposed as a measure of distance, this space is called the elliptic plane. The gnomonic projection of the 3 sphere of unit quaternions, points of which represent 3 dimensional rotations, results in Rodrigues vectors. The gnomonic projection of the hyperboloid of two sheets, treated as a model for the hyperbolic plane, is called the Beltrami–Klein model.

История

Говорят, что гномоническая проекция – самая древняя картографическая проекция, которую, по предположениям, использовал Фалес для составления звездных карт в VI веке до нашей эры. Траектория тени или светового пятна в солнечных часах с узлом повторяет те же гиперболы, которые образуют параллели на гномонической карте.

Свойства

Гномонические проекции осуществляются из центра сферы на плоскость, касательную к сфере (рис. 1). Сфера и плоскость соприкасаются в точке касания. Большие круги отображаются прямыми линиями при гномононической проекции. Поскольку меридианы (линии долготы) и экватор являются большими кругами, они всегда изображаются прямыми линиями на гномононической карте. Так как проекция выполняется из центра сферы, гномононическая карта может отображать менее половины площади сферы. Искажение масштаба карты возрастает от центра (точки касания) к периферии. Поскольку они эквивалентны, для визуализации гномононических карт можно использовать ту же оптику, что и для фотографических панорам. Гномононическая проекция применяется в астрономии, где точка касания центрирована на интересующем объекте. В этом случае проецируемой сферой является небесная сфера, R = 1, а не поверхность Земли. В астрономии гномононические звездные карты небесной сферы могут использоваться наблюдателями для точного определения прямолинейной траектории метеорного следа.