Кіріспе
Сфераның ортасы арқылы жазықтыққа проекциясы – гномоникалық проекция, сондай-ақ орталық проекция немесе түзу сызықты проекция деп те аталады. Бұл сфераның перспективалық проекциясы, проекция орталығы сфераның ортасында орналасқан, ал проекция жазықтығы сфера ортасынан өтпейтін кез келген жазықтық болуы мүмкін, көбінесе жанама жазықтық. Гномоникалық проекцияда сферадағы кез келген үлкен шеңбер жазықтықта түзу сызыққа проекцияланады (үлкен шеңбер – сферадағы геодезия, екі кез келген нүкте арасындағы ең қысқа жол, жазықтықтағы түзу сызыққа ұқсас). Жалпы алғанда, гномоникалық проекцияны кез келген n өлшемді гиперсферадан гипержазықтыққа жүзеге асыруға болады. Проекция – бұл шеңберден түзу сызыққа бейнелейтін тригонометриялық тангенстің n өлшемді жалпылауы. Тангенс сияқты, сферадағы әрбір екі антиподальдық нүкте жазықтықтағы бір нүктеге проекцияланады, ал сфераның ортасынан өтетін және проекция жазықтығына параллель жазықтықтағы нүктелер шексіз нүктелерге проекцияланады. Көбінесе проекция жарты шар мен жазықтықтағы нүктелер арасындағы бір-бірге сәйкестік ретінде қарастырылады, мұнда бейне жазықтығының кез келген шекті бөлігі жарты шардың бөлігін көрсетеді. Гномоникалық проекция азимуталды (радиальды симметриялы). Проекцияланған бейненің ортасында пішіннің бұрмалануы болмайды, бірақ одан алшақтаған сайын бұрмалану тез өседі. Гномоникалық проекция астрономияда күн сағаттарын жасау және аспан сферасын сызу үшін пайда болды. Ол географиялық карта проекциясы ретінде кеңінен қолданылады және навигацияда ыңғайлы болуы мүмкін, өйткені үлкен шеңберлер бағыттары түзу сызықтар түрінде көрсетіледі. Түзу сызықты фотообъективтер әлемді бейне жазықтығына перспективалық проекциялайды; мұны бейне сферасының гномоникалық проекциясы деп қарастыруға болады (камерадан өтетін әрбір сәуленің бағытын көрсететін абстрактілік сфера). Гномоникалық проекция кристаллографияда кристалл құрылымдарының жазықтықтары мен сызықтарының бағыттарын талдау үшін қолданылады. Ол құрылымдық геологияда жарықтардың жазықтықтарының бағытын талдау үшін қолданылады. Компьютерлік графикада және сфералық деректерді компьютерлік бейнелеуде куб картасы – бейне сферасының кубтың алты жағына гномоникалық проекциясы. Математикада 3 өлшемді кеңістіктегі бағытталмаған түзулердің бағыт-бағдар кеңістігі нақты проекциялық жазықтық деп аталады және әдетте «проекциялық сфера» немесе оның гномоникалық проекциясы арқылы бейнеленеді. Егер түзулер арасындағы бұрыш қашықтықтың өлшемі ретінде қарастырылса, онда бұл кеңістік эллиптикалық жазықтық деп аталады. 3 өлшемді айналымдарды көрсететін бірлік кватерниондардың 3 сферасының гномоникалық проекциясы Родригес векторларын береді. Гиперболалық жазықтықтың моделі ретінде қарастырылатын екі жақтан гиперболоидтың гномоникалық проекциясы Белтрами-Клейн моделі деп аталады.
A gnomonic projection, also known as a central projection or rectilinear projection, is a perspective projection of a sphere, with center of projection at the sphere's center, onto any plane not passing through the center, most commonly a tangent plane. Under gnomonic projection every great circle on the sphere is projected to a straight line in the plane (a great circle is a geodesic on the sphere, the shortest path between any two points, analogous to a straight line on the plane). More generally, a gnomonic projection can be taken of any n dimensional hypersphere onto a hyperplane. The projection is the n dimensional generalization of the trigonometric tangent which maps from the circle to a straight line, and as with the tangent, every pair of antipodal points on the sphere projects to a single point in the plane, while the points on the plane through the sphere's center and parallel to the image plane project to points at infinity; often the projection is considered as a one to one correspondence between points in the hemisphere and points in the plane, in which case any finite part of the image plane represents a portion of the hemisphere. The gnomonic projection is azimuthal (radially symmetric). No shape distortion occurs at the center of the projected image, but distortion increases rapidly away from it. The gnomonic projection originated in astronomy for constructing sundials and charting the celestial sphere. It is commonly used as a geographic map projection, and can be convenient in navigation because great circle courses are plotted as straight lines. Rectilinear photographic lenses make a perspective projection of the world onto an image plane; this can be thought of as a gnomonic projection of the image sphere (an abstract sphere indicating the direction of each ray passing through a camera modeled as a pinhole). The gnomonic projection is used in crystallography for analyzing the orientations of lines and planes of crystal structures. It is used in structural geology for analyzing the orientations of fault planes. In computer graphics and computer representation of spherical data, cube mapping is the gnomonic projection of the image sphere onto six faces of a cube. In mathematics, the space of orientations of undirected lines in 3 dimensional space is called the real projective plane, and is typically pictured either by the "projective sphere" or by its gnomonic projection. When the angle between lines is imposed as a measure of distance, this space is called the elliptic plane. The gnomonic projection of the 3 sphere of unit quaternions, points of which represent 3 dimensional rotations, results in Rodrigues vectors. The gnomonic projection of the hyperboloid of two sheets, treated as a model for the hyperbolic plane, is called the Beltrami–Klein model.
Тарих
Гномоникалық проекция – ең көне карта проекциясы деп есептеледі, болжам бойынша б.з.д. 6 ғасырда Талес оны жұлдыз карталары үшін қолданған болуы мүмкін. Түйінге негізделген күн сағатындағы көлеңке ұшының немесе жарық нүктесінің жолы гномоникалық картадағы параллельдермен түзілген бірдей гиперболаларды құрайды.
Қасиеттері
Гномоникалық проекция – сфераның ортасынан сфераға жанасатын жазықтыққа жасалатын проекция (төмендегі 1-сурет). Шар мен жазықтық жанасу нүктесінде жанасады. Үлкен шеңберлер гномоникалық проекция арқылы түзу сызықтарға айналады. Меридиандар (бойлық сызықтары) және экватор үлкен шеңберлер болғандықтан, гномоникалық картада олар әрқашан түзу сызықтар түрінде бейнеленеді. Проекция сфераның ортасынан жасалғандықтан, гномоникалық карта сфераның жартысынан кем аумақты көрсете алады. Карта масштабтарының бұрмалануы орталықтан (жанасу нүктесінен) шетке қарай артады. Олар бірдей принципте жұмыс істейтіндіктен, фотографиялық панорамалар үшін қолданылатын оптикалық жүйе гномоникалық карталарды жасауға да қолданылуы мүмкін. Гномоникалық проекция астрономияда кеңінен қолданылады, мұнда жанасу нүктесі зерттелетін объектіге бағытталған. Бұл жағдайда проекцияланатын шар – аспан шары, R = 1, және Жердің беті емес. Астрономияда аспан шарының гномикалық проекциясымен жасалған жұлдыз карталарын бақылаушылар метеордың траекториясын түзу сызықпен дәл белгілеу үшін пайдалана алады.
The gnomonic projection is used in astronomy where the tangent point is centered on the object of interest. The sphere being projected in this case is the celestial sphere, R = 1, and not the surface of the Earth. In astronomy, gnomic projection star charts of the celestial sphere can be used by observers to accurately plot the straight line path of a meteor trail.