Введение
Ориентируемая поверхность, граница которой является узлом или зацеплением.
В математике поверхность Зейферта (названа в честь немецкого математика Герберта Зейферта) — это ориентируемая поверхность, границей которой является заданный узел или зацепление. Такие поверхности могут использоваться для изучения свойств соответствующего узла или зацепления. Например, многие инварианты узлов наиболее легко вычисляются с использованием поверхности Зейферта. Поверхности Зейферта также представляют интерес сами по себе и являются предметом значительных исследований. В частности, пусть L — прирученный ориентированный узел или зацепление в трехмерном евклидовом пространстве (или в трехмерной сфере). Поверхность Зейферта — это компактная, связная, ориентированная поверхность S, встроенная в трехмерное пространство, границей которой является L, причем ориентация на L является просто индуцированной ориентацией с S.
Следует отметить, что любая компактная, связная, ориентированная поверхность с непустой границей в трехмерном евклидовом пространстве является поверхностью Зейферта, связанной с ее граничным зацеплением. Один узел или зацепление может иметь множество различных неэквивалентных поверхностей Зейферта. Поверхность Зейферта должна быть ориентированной. Также возможно ассоциировать поверхности с узлами, которые не ориентированы и не ориентируемы.
Примеры
Стандартная полоса Мёбиуса имеет развязкой в качестве границы, но не является поверхностью Зейферта для развязки, поскольку она не ориентируема. "Шахматная раскраска" обычной минимальной проекции узла трефола дает полосу Мёбиуса с тремя полуоборотами. Как и в предыдущем примере, это не является поверхностью Зейферта, так как она не ориентируема. Применение алгоритма Зейферта к этой диаграмме, как и ожидалось, действительно дает поверхность Зейферта; в этом случае это проколотый тор рода g = 1, и матрица Зейферта есть…