Введение

В математике аффинная алгебра Ли — это бесконечномерная алгебра Ли, которая строится каноническим образом из конечномерной простой алгебры Ли. При наличии аффинной алгебры Ли можно также сформировать связанную аффинную алгебру Каца — Муди, как описано ниже. С чисто математической точки зрения аффинные алгебры Ли интересны тем, что их теория представлений, как и теория представлений конечных полупростых алгебр Ли, гораздо лучше изучена, чем теория общих алгебр Каца — Муди. Как заметил Виктор Кац, формула характеров для представлений аффинных алгебр Ли подразумевает определенные комбинаторные тождества, тождества Макдональда. Аффинные алгебры Ли играют важную роль в теории струн и двухмерной конформной теории поля благодаря способу их построения: начиная с простой алгебры Ли, рассматривают петлевую алгебру, сформированную функциями со значениями в круге (интерпретируемом как замкнутая струна) с точечным коммутатором. Аффинная алгебра Ли получается путем добавления одного дополнительного измерения к петлевой алгебре и модификации коммутатора нетривиальным образом, который физики называют квантовой аномалией (в данном случае аномалией модели WZW), а математики — центральным расширением. В более общем случае, если σ является автоморфизмом простой алгебры Ли, связанным с автоморфизмом её диаграммы Динкина, то витая петлевая алгебра состоит из функций f на вещественной прямой, удовлетворяющих условию витой периодичности. Их центральные расширения — это как раз витые аффинные алгебры Ли. Точка зрения теории струн помогает понять многие глубокие свойства аффинных алгебр Ли, такие как тот факт, что характеры их представлений преобразуются друг в друга под действием модулярной группы.

Построение диаграмм Динкина

Диаграмма Динкина каждой аффинной алгебры Ли состоит из диаграммы соответствующей простой алгебры Ли с добавленным дополнительным узлом, который соответствует добавлению мнимого корня. Разумеется, такой узел нельзя присоединять к диаграмме Динкина произвольным образом, но для каждой простой алгебры Ли существует число возможных присоединений, равное мощности группы внешних автоморфизмов этой алгебры Ли. В частности, эта группа всегда содержит единичный элемент, и соответствующая аффинная алгебра Ли называется неискривлённой аффинной алгеброй Ли. Если простая алгебра допускает автоморфизмы, не являющиеся внутренними, то можно получить другие диаграммы Динкина, соответствующие искривлённым аффинным алгебрам Ли. + Диаграммы Динкина для аффинных алгебр Ли. Набор расширенных (неискривлённых) аффинных диаграмм Динкина с добавленными узлами, выделенными зелёным цветом. (k – число узлов в графе).

Классификация центральных расширений

Присоединение дополнительного узла к диаграмме Динкина соответствующей простой алгебры Ли соответствует следующей конструкции. Аффинную алгебру Ли всегда можно построить как центральное расширение циклической алгебры соответствующей простой алгебры Ли. Если же начать с полупростой алгебры Ли, то необходимо центрально расширить ее на число элементов, равное числу простых компонент полупростой алгебры. В физике часто рассматривают вместо этого прямую сумму полупростой и абелевой алгебр. В этом случае также требуется добавить n дополнительных центральных элементов для n абелевых генераторов. Вторая интегральная когомология группы петель соответствующей простой компактной группы Ли изоморфна целым числам. Центральные расширения аффинной группы Ли одним образующим топологически представляют собой круговые расслоения над этой свободной группой петель, классифицируемые классом, известным как первый класс Черна расслоения. Следовательно, центральные расширения аффинной группы Ли классифицируются единственным параметром k, который называется уровнем в физической литературе, где он впервые и появился. Унитарные представления старших весов аффинных компактных групп существуют только при k, являющемся натуральным числом. В более общем случае, для полупростой алгебры существует центральный заряд для каждой простой компоненты.

Картановый/вейловый основы

Как и в конечном случае, определение базиса Картана — Вейля является важным шагом в определении структуры аффинных алгебр Ли. Зафиксируем конечномерную, простую, комплексную алгебру Ли с субагеброй Картана и заданной корневой системой. Вводя обозначение , можно попытаться расширить базис Картана — Вейля для до базиса для аффинной алгебры Ли, задаваемой , при этом образуется абелева субальгебра. Собственные значения и на равны и соответственно и не зависят от . Следовательно, корень бесконечно вырожден по отношению к этой абелевой субальгебре. Добавление описанного выше дифференцирования к абелевой субальгебре превращает её в субальгебру Картана для аффинной алгебры Ли, со собственными значениями для .

Теория представления

Теория представлений аффинных алгебр Ли обычно развивается с использованием модулей Вермы. Как и в случае полупростых алгебр Ли, это модули старшего веса. Конечных размерностей представлений не существует; это следует из того, что нулевые векторы модуля Вермы конечной размерности обязательно равны нулю, в то время как для аффинных алгебр Ли это не так. Грубо говоря, это связано с тем, что форма Киллинга является лоренцевой в определенных направлениях, поэтому их иногда называют "координатами светового конуса" на струне. "Радиально упорядоченные" произведения операторов тока можно понимать как упорядоченные по времени, рассматривая направление времени вдоль мировой поверхности струны, а пространственное направление – как пространственное.

Алгебра аффинных вершин

Вакуумное представление фактически может быть наделено структурой вершинной алгебры, в этом случае оно называется аффинной вершинной алгеброй ранга. Аффинная алгебра Ли естественным образом расширяется до алгебры Каца — Муди, при этом дифференциал представлен оператором сдвига в вершинной алгебре.

Группа Вейла и персонажи

Группа Вейля аффинной алгебры Ли может быть записана как полупрямое произведение группы Вейля алгебры нулевого порядка (алгебры Ли, используемой для определения циклической алгебры) и решетки кокорней. Формула характеров Вейля алгебраических представлений аффинных алгебр Ли обобщается до формулы характеров Вейля — Каца. Из этого следует ряд интересных построений. Можно построить обобщения тета-функции Якоби. Эти тета-функции преобразуются относительно модулярной группы. Обычные тождества для знаменателей полупростых алгебр Ли также обобщаются; поскольку характеры можно представить в виде "деформаций" или q-аналогов старших весов, это привело к множеству новых комбинаторных тождеств, включая многие ранее неизвестные тождества для функции Дедекинда эта. Эти обобщения можно рассматривать как практический пример программы Лэнглендса.

Приложения

Из-за конструкции Сугавары универсальная обволакивающая алгебра любой аффинной алгебры Ли содержит алгебру Вирасоро как субальгебру. Это позволяет аффинным алгебрам Ли выступать в качестве алгебр симметрии конформных теорий поля, таких как модели WZW или косетовые модели. Как следствие, аффинные алгебры Ли также возникают в описании мирового листа теории струн.