Представления групп и гомоморфизмы в общую линейную группу
Group representation
Представления групп: гомоморфизмы в общую линейную группу, применение в математике, химии и физике. Симметрия, линейная алгебра, матричное представление.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Гомоморфизм группы в общую линейную группу над векторным пространством
Group homomorphism into the general linear group over a vector space
В математической области теории представлений, представления группы описывают абстрактные группы в терминах биективных линейных преобразований векторного пространства в себя (то есть, автоморфизмов векторного пространства); в частности, они могут быть использованы для представления элементов группы в виде обратимых матриц, так что групповая операция может быть представлена умножением матриц. В химии, представление группы может связывать элементы математической группы с симметричными вращениями и отражениями молекул. Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры. В физике они описывают, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему. Термин "представление группы" также используется в более широком смысле для обозначения любого "описания" группы как группы преобразований некоторого математического объекта. Более формально, "представление" означает гомоморфизм из группы в группу автоморфизмов объекта. Если объект является векторным пространством, то мы имеем линейное представление. Некоторые авторы используют термин "реализация" для общего понятия и резервируют термин "представление" для частного случая линейных представлений. Большая часть данной статьи посвящена теории линейных представлений; обобщения рассматриваются в последнем разделе.
In the mathematical field of representation theory, group representations describe abstract groups in terms of bijective linear transformations of a vector space to itself (i. e. vector space automorphisms); in particular, they can be used to represent group elements as invertible matrices so that the group operation can be represented by matrix multiplication. In chemistry, a group representation can relate mathematical group elements to symmetric rotations and reflections of molecules. Representations of groups allow many group theoretic problems to be reduced to problems in linear algebra. In physics, they describe how the symmetry group of a physical system affects the solutions of equations describing that system. The term representation of a group is also used in a more general sense to mean any "description" of a group as a group of transformations of some mathematical object. More formally, a "representation" means a homomorphism from the group to the automorphism group of an object. If the object is a vector space we have a linear representation. Some people use realization for the general notion and reserve the term representation for the special case of linear representations. The bulk of this article describes linear representation theory; see the last section for generalizations.
Отрасли теории группового представления
Теория представлений групп подразделяется на подтеории в зависимости от типа представляемой группы. Различные теории существенно отличаются в деталях, хотя некоторые основные определения и понятия остаются схожими. Наиболее важными подразделениями являются:
The representation theory of groups divides into subtheories depending on the kind of group being represented. The various theories are quite different in detail, though some basic definitions and concepts are similar. The most important divisions are:
Конечные группы — групповые представления являются очень важным инструментом в изучении конечных групп. Они также возникают в приложениях теории конечных групп к кристаллографии и геометрии. Если поле скаляров векторного пространства имеет характеристику p, и если p делит порядок группы, то это называется модульной теорией представлений; этот особый случай обладает существенно иными свойствами. См. Теория представлений конечных групп. Компактные группы или локально компактные группы — многие результаты теории представлений конечных групп доказываются посредством усреднения по группе. Эти доказательства можно перенести на бесконечные группы, заменив среднее значение интегралом, при условии, что можно определить приемлемое понятие интеграла. Это возможно для локально компактных групп, используя меру Хаара. Получающаяся теория является центральной частью гармонического анализа. Двойственность Понтрягина описывает теорию для коммутативных групп как обобщенное преобразование Фурье. См. также: Теорема Питера — Вейля. Группы Ли — многие важные группы Ли компактны, поэтому к ним применимы результаты теории компактных представлений. Также используются другие методы, специфичные для групп Ли. Большинство групп, важных в физике и химии, являются группами Ли, и их теория представлений имеет решающее значение для применения теории групп в этих областях. См. Представления групп Ли и Представления алгебр Ли. Линейные алгебраические группы (или, в более общем смысле, аффинные групповые схемы) — это аналоги групп Ли, но над более общими полями, чем просто R или C. Хотя линейные алгебраические группы имеют классификацию, очень похожую на классификацию групп Ли, и порождают те же семейства алгебр Ли, их представления существенно отличаются (и гораздо менее изучены). Аналитические методы, используемые для изучения групп Ли, необходимо заменить методами алгебраической геометрии, где относительно слабая топология Зариски вызывает множество технических осложнений. Некомпактные топологические группы — класс некомпактных групп слишком широк для построения какой-либо общей теории представлений, но конкретные частные случаи были изучены, иногда с использованием ad hoc методов. Полупростые группы Ли имеют глубокую теорию, основанную на компактном случае. Дополнительные разрешимые группы Ли не могут быть классифицированы таким же образом. Общая теория групп Ли рассматривает полупрямые произведения двух типов, с помощью общих результатов, называемых теорией Макки, которая является обобщением методов классификации Вигнера. Теория представлений также сильно зависит от типа векторного пространства, на котором действует группа. Различают конечномерные и бесконечномерные представления. В бесконечномерном случае важны дополнительные структуры (например, является ли пространство пространством Гильберта, пространством Банаха и т. д.). Также необходимо учитывать тип поля, над которым определено векторное пространство. Наиболее важным случаем является поле комплексных чисел. Другие важные случаи — это поле действительных чисел, конечные поля и поля p-адических чисел. В целом, с алгебраически замкнутыми полями легче работать, чем с неалгебраически замкнутыми. Характеристика поля также имеет значение; многие теоремы для конечных групп зависят от того, что характеристика поля не делит порядок группы.
Finite groups — Group representations are a very important tool in the study of finite groups. They also arise in the applications of finite group theory to crystallography and to geometry. If the field of scalars of the vector space has characteristic p, and if p divides the order of the group, then this is called modular representation theory; this special case has very different properties. See Representation theory of finite groups. Compact groups or locally compact groups — Many of the results of finite group representation theory are proved by averaging over the group. These proofs can be carried over to infinite groups by replacement of the average with an integral, provided that an acceptable notion of integral can be defined. This can be done for locally compact groups, using the Haar measure. The resulting theory is a central part of harmonic analysis. The Pontryagin duality describes the theory for commutative groups, as a generalised Fourier transform. See also: Peter–Weyl theorem. Lie groups — Many important Lie groups are compact, so the results of compact representation theory apply to them. Other techniques specific to Lie groups are used as well. Most of the groups important in physics and chemistry are Lie groups, and their representation theory is crucial to the application of group theory in those fields. See Representations of Lie groups and Representations of Lie algebras. Linear algebraic groups (or more generally affine group schemes) — These are the analogues of Lie groups, but over more general fields than just R or C. Although linear algebraic groups have a classification that is very similar to that of Lie groups, and give rise to the same families of Lie algebras, their representations are rather different (and much less well understood). The analytic techniques used for studying Lie groups must be replaced by techniques from algebraic geometry, where the relatively weak Zariski topology causes many technical complications. Non compact topological groups — The class of non compact groups is too broad to construct any general representation theory, but specific special cases have been studied, sometimes using ad hoc techniques. The semisimple Lie groups have a deep theory, building on the compact case. The complementary solvable Lie groups cannot be classified in the same way. The general theory for Lie groups deals with semidirect products of the two types, by means of general results called Mackey theory, which is a generalization of Wigner's classification methods. Representation theory also depends heavily on the type of vector space on which the group acts. One distinguishes between finite dimensional representations and infinite dimensional ones. In the infinite dimensional case, additional structures are important (e. g. whether or not the space is a Hilbert space, Banach space, etc.). One must also consider the type of field over which the vector space is defined. The most important case is the field of complex numbers. The other important cases are the field of real numbers, finite fields, and fields of p adic numbers. In general, algebraically closed fields are easier to handle than non algebraically closed ones. The characteristic of the field is also significant; many theorems for finite groups depend on the characteristic of the field not dividing the order of the group.
Сокращаемость
Подпространство W из V, инвариантное относительно действия группы, называется подпредставлением. Если V имеет ровно два подпредставления, а именно нулевое подпространство и само V, то представление называется неприводимым; если оно имеет собственное подпредставление ненулевой размерности, то представление называется приводимым. Представление нулевой размерности считается ни приводимым, ни неприводимым, подобно тому, как число 1 считается ни составным, ни простым. При условии, что характеристика поля K не делит порядок группы, представления конечных групп могут быть разложены в прямую сумму неприводимых подпредставлений (см. теорему Машке). Это справедливо в частности для любого представления конечной группы над комплексными числами, поскольку характеристика комплексных чисел равна нулю, что никогда не делит порядок группы. В приведенном выше примере первые два представления (ρ и σ) являются приводимыми и раскладываются на два одномерных подпредставления (заданные span{(1,0)} и span{(0,1)}), в то время как третье представление (τ) является неприводимым.
A subspace W of V that is invariant under the group action is called a subrepresentation. If V has exactly two subrepresentations, namely the zero dimensional subspace and V itself, then the representation is said to be irreducible; if it has a proper subrepresentation of nonzero dimension, the representation is said to be reducible. The representation of dimension zero is considered to be neither reducible nor irreducible, just as the number 1 is considered to be neither composite nor prime. Under the assumption that the characteristic of the field K does not divide the size of the group, representations of finite groups can be decomposed into a direct sum of irreducible subrepresentations (see Maschke's theorem). This holds in particular for any representation of a finite group over the complex numbers, since the characteristic of the complex numbers is zero, which never divides the size of a group. In the example above, the first two representations given (ρ and σ) are both decomposable into two 1 dimensional subrepresentations (given by span{(1,0)} and span{(0,1)}), while the third representation (τ) is irreducible.