Введение
Пятая проблема Гильберта — пятая математическая проблема из списка проблем, опубликованного в 1900 году математиком Давидом Гильбертом, и посвящена характеризации групп Ли. Теория групп Ли описывает непрерывную симметрию в математике; её значимость как в математике, так и в теоретической физике (например, в теории кварков) постоянно возрастала в течение двадцатого века. В общих чертах, теория групп Ли объединяет теорию групп и теорию топологических многообразий. Вопрос, поставленный Гильбертом, заключался в том, чтобы сделать это определение более точным: имеет ли значение ограничение рассмотрения гладкими многообразиями? Ожидаемый ответ был отрицательным (классические группы, наиболее важные примеры в теории групп Ли, являются гладкими многообразиями). Это было окончательно подтверждено в начале 1950-х годов. Поскольку точного понятия «многообразие» во времена Гильберта ещё не существовало, формулировка проблемы в современной математической терминологии может быть предметом дискуссий.
Hilbert's fifth problem is the fifth mathematical problem from the problem list publicized in 1900 by mathematician David Hilbert, and concerns the characterization of Lie groups. The theory of Lie groups describes continuous symmetry in mathematics; its importance there and in theoretical physics (for example quark theory) grew steadily in the twentieth century. In rough terms, Lie group theory is the common ground of group theory and the theory of topological manifolds. The question Hilbert asked was an acute one of making this precise: is there any difference if a restriction to smooth manifolds is imposed? The expected answer was in the negative (the classical groups, the most central examples in Lie group theory, are smooth manifolds). This was eventually confirmed in the early 1950s. Since the precise notion of "manifold" was not available to Hilbert, there is room for some debate about the formulation of the problem in contemporary mathematical language.
Не существует малых подгрупп
Важным условием теории является отсутствие малых подгрупп. Топологическая группа G, или частичная часть группы, как F выше, называется группой, не имеющей малых подгрупп, если существует окрестность N точки e, не содержащая подгруппу, большую чем . Например, группа круга удовлетворяет этому условию, а p-адические числа 'Z'p как аддитивная группа – нет, поскольку N будет содержать подгруппы: p^(k) 'Z'p для всех достаточно больших целых чисел k. Это дает представление о характере сложности задачи. В случае гипотезы Гильберта — Смита вопрос сводится к известному преобразованию: может ли 'Z'p действовать верно на замкнутом многообразии. Глисон, Монтгомери и Зиппин охарактеризовали группы Ли среди локально компактных групп как группы, не имеющие малых подгрупп.
Бесконечные измерения
Исследователи также рассматривали пятую проблему Гильберта, не предполагая конечномерности. Это было темой докторской диссертации Пер Энфло; его работа обсуждается в.