Введение
Простая игра, изучаемая в теории игр, игра для двух игроков, изучаемая в теории игр. «Сопоставление копеек» – некооперативная игра, изучаемая в теории игр. В неё играют два игрока, Чёт и Нечёт. У каждого игрока есть монета, которую он должен тайно подбросить, чтобы выпала либо орёл, либо решка. Игроки одновременно показывают свой выбор. Если монеты совпадают (обе орлом или обе решкой), Чёт выигрывает и забирает обе монеты. Если монеты не совпадают (одна орлом, а другая решкой), Нечёт выигрывает и забирает обе монеты.
the two person game studied in game theory
Matching pennies is a non cooperative game studied in game theory. It is played between two players, Even and Odd. Each player has a penny and must secretly turn the penny to heads or tails. The players then reveal their choices simultaneously. If the pennies match (both heads or both tails), then Even wins and keeps both pennies. If the pennies do not match (one heads and one tails), then Odd wins and keeps both pennies.
Теория
Сопоставление пенни — это игра с нулевой суммой, поскольку выигрыш или проигрыш в полезности каждого участника точно компенсируется выигрышем или проигрышем в полезности другого участника. Если сложить общие выигрыши участников и вычесть их общие потери, то сумма будет равна нулю. Эту игру можно представить в виде матрицы выплат (изображена справа с точки зрения Эвена). Каждая ячейка матрицы показывает выигрыши обоих игроков, причем выигрыши Эвена указаны первыми. Сопоставление пенни используется главным образом для иллюстрации концепции смешанных стратегий и смешанного равновесия Нэша. В этой игре нет равновесия Нэша в чистых стратегиях, поскольку не существует чистой стратегии (орёл или решка), которая была бы оптимальным ответом на оптимальный ответ другого игрока. Иными словами, нет такой пары чистых стратегий, при которой ни один из игроков не захотел бы изменить свой выбор, зная выбор другого. Вместо этого, уникальное равновесие Нэша в этой игре достигается в смешанных стратегиях: каждый игрок выбирает орёл или решку с равной вероятностью. Таким образом, каждый игрок делает выбор другого игрока безразличным между орлом и решкой, и ни у одного из них нет стимула пробовать другую стратегию. Кривые наилучшего ответа для смешанных стратегий изображены на рисунке 1 ниже: когда любой игрок придерживается равновесной стратегии, ожидаемый выигрыш для всех игроков равен нулю.
When either player plays the equilibrium, everyone's expected payoff is zero.
Варианты
Изменение выплат в матрице может изменить точку равновесия. Например, в таблице справа у игрока Четный есть шанс выиграть 7, если он и игрок Нечетный выбирают "орел". Чтобы рассчитать точку равновесия в этой игре, заметим, что игрок, использующий смешанную стратегию, должен быть безразличен к своим двум возможным действиям (иначе он перейдет к чистой стратегии). Это дает нам два уравнения: для игрока Четный ожидаемая выплата при выборе "орла" равна , а при выборе "решки" (где – вероятность выбора "орла" игроком Нечетный), и эти значения должны быть равны, то есть Для игрока Нечетный ожидаемая выплата при выборе "орла" равна , а при выборе "решки" (где – вероятность выбора "орла" игроком Четный), и эти значения должны быть равны, то есть Обратите внимание, что поскольку – вероятность выбора "орла" игроком Нечетный, а – вероятность выбора "орла" игроком Четный, изменение выплаты игроку Четный влияет на равновесную стратегию игрока Нечетный, а не на собственную равновесную стратегию игрока Четный. Это может показаться неинтуитивным на первый взгляд. Логика заключается в том, что в равновесии оба варианта должны быть одинаково привлекательны. Возможность +7 для игрока Четный очень привлекательна по сравнению с +1, поэтому, чтобы сохранить равновесие, игрок Нечетный должен снизить вероятность наступления этого исхода, чтобы компенсировать и уравнять ожидаемые значения двух вариантов, то есть в равновесии игрок Нечетный будет реже выбирать "орел" и чаще "решку".
For the Even player, the expected payoff when playing Heads is and when playing Tails (where is Odd's probability of playing Heads), and these must be equal, so For the Odd player, the expected payoff when playing Heads is and when playing Tails (where is Even's probability of playing Heads), and these must be equal, so Note that since is the Heads probability of Odd and is the Heads probability of Even, the change in Even's payoff affects Odd's equilibrium strategy and not Even's own equilibrium strategy. This may be unintuitive at first. The reasoning is that in equilibrium, the choices must be equally appealing. The +7 possibility for Even is very appealing relative to +1, so to maintain equilibrium, Odd's play must lower the probability of that outcome to compensate and equalize the expected values of the two choices, meaning in equilibrium Odd will play Heads less often and Tails more often.
Данные реальной жизни
Выводы лабораторных экспериментов подвергаются критике по нескольким причинам. Игры, проводимые в лабораторных экспериментах, искусственны и упрощены и не отражают поведение в реальной жизни. Выигрыши в лабораторных экспериментах невелики, поэтому у испытуемых нет достаточного стимула играть оптимально. В реальной жизни рынок может наказывать за подобную иррациональность, заставляя игроков действовать более рационально. У испытуемых есть и другие мотивы, помимо максимизации денежной выгоды, например, избежать неловкого положения или угодить экспериментатору. Лабораторные эксперименты коротки, и у испытуемых недостаточно времени, чтобы выработать оптимальную стратегию. Чтобы преодолеть эти трудности, ряд авторов провели статистический анализ профессиональных спортивных игр. Это игры с нулевой суммой и очень высокими ставками, а игроки посвятили всю свою жизнь тому, чтобы стать экспертами. Часто такие игры стратегически схожи с игрой «орёл или решка»:
В футбольных пенальти у бьющего есть два варианта – ударить влево или вправо, а у вратаря – прыгнуть влево или вправо. Вероятность того, что бьющий забьет гол, выше, когда выбор не совпадает, и ниже, когда выбор совпадает. В целом, выигрыш асимметричен, поскольку у каждого бьющего обычно сильнее одна нога (как правило, правая), и его шансы выше, когда он бьет в противоположную сторону (влево). При детальном анализе действий бьющих и вратарей было обнаружено, что процент побед соответствует гипотезе минимакса, однако выбор игроков не случаен: даже профессиональные теннисисты плохо умеют рандомизировать и слишком часто меняют свои действия.