Символы Кристоффеля: описание метрической связности.

Введение

Массив чисел, описывающих метрическую связность.

В математике и физике символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическую связность. Метрическая связность — это специализация аффинной связности для поверхностей или других многообразий, наделённых метрикой, позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связность может быть определена без привязки к метрике, и многие дополнительные понятия следуют за этим: параллельный перенос, ковариантные производные, геодезические и т. д. также не требуют концепции метрики. Однако, когда метрика доступна, эти понятия могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как тангенциальное пространство присоединяется к котангенциальному пространству посредством метрического тензора. Абстрактно можно сказать, что многообразие имеет ассоциированный (ортонормальный) расслоение рамок, где каждая «рамка» представляет собой возможный выбор координатной рамки. Инвариантная метрика подразумевает, что структурная группа расслоения рамок является ортогональной группой O(p, q). В результате такое многообразие необходимо является (псевдо)римановым многообразием. Символы Кристоффеля предоставляют конкретное представление связности (псевдо)римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные понятия, такие как параллельный перенос, геодезические и т. д., могут быть выражены в терминах символов Кристоффеля. В общем случае существует бесконечное число метрических связностей для заданного метрического тензора; однако существует единственная связность, свободная от кручения — связность Леви-Чивиты. В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связностью Леви-Чивиты, используя координатные системы (называемые голономными координатами), где кручение обращается в ноль. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как меняются локальные координатные базисы от точки к точке. В каждой точке базового n-мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются Γ(i)jk для i, j, k = 1, 2, …, n. Каждая запись этого массива n × n × n является действительным числом. При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются как компоненты тензора, но при общих преобразованиях координат (диффеоморфизмах) — нет. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их связи с аффинной связностью; лишь немногие обусловлены тем фактом, что структурная группа является ортогональной группой O(m, n) (или группой Лоренца O(3, 1) для общей теории относительности). Символы Кристоффеля используются для выполнения практических вычислений. Например, тензор кривизны Римана может быть полностью выражен в терминах символов Кристоффеля и их первых частных производных. В общей теории относительности связность играет роль гравитационного силового поля, а соответствующий гравитационный потенциал — метрический тензор. Когда система координат и метрический тензор обладают некоторой симметрией, многие из Γ(i)jk равны нулю. Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900).

In mathematics and physics, the Christoffel symbols are an array of numbers describing a metric connection. The metric connection is a specialization of the affine connection to surfaces or other manifolds endowed with a metric, allowing distances to be measured on that surface. In differential geometry, an affine connection can be defined without reference to a metric, and many additional concepts follow: parallel transport, covariant derivatives, geodesics, etc. also do not require the concept of a metric. However, when a metric is available, these concepts can be directly tied to the "shape" of the manifold itself; that shape is determined by how the tangent space is attached to the cotangent space by the metric tensor. Abstractly, one would say that the manifold has an associated (orthonormal) frame bundle, with each "frame" being a possible choice of a coordinate frame. An invariant metric implies that the structure group of the frame bundle is the orthogonal group O(p, q). As a result, such a manifold is necessarily a (pseudo )Riemannian manifold. The Christoffel symbols provide a concrete representation of the connection of (pseudo )Riemannian geometry in terms of coordinates on the manifold. Additional concepts, such as parallel transport, geodesics, etc. can then be expressed in terms of Christoffel symbols. In general, there are an infinite number of metric connections for a given metric tensor; however, there is a unique connection that is free of torsion, the Levi Civita connection. It is common in physics and general relativity to work almost exclusively with the Levi Civita connection, by working in coordinate frames (called holonomic coordinates) where the torsion vanishes. For example, in Euclidean spaces, the Christoffel symbols describe how the local coordinate bases change from point to point. At each point of the underlying n dimensional manifold, for any local coordinate system around that point, the Christoffel symbols are denoted Γ^(i)jk for 1=i, j, k = 1, 2, , n. Each entry of this n × n × n array is a real number. Under linear coordinate transformations on the manifold, the Christoffel symbols transform like the components of a tensor, but under general coordinate transformations (diffeomorphisms) they do not. Most of the algebraic properties of the Christoffel symbols follow from their relationship to the affine connection; only a few follow from the fact that the structure group is the orthogonal group O(m, n) (or the Lorentz group O(3, 1) for general relativity). Christoffel symbols are used for performing practical calculations. For example, the Riemann curvature tensor can be expressed entirely in terms of the Christoffel symbols and their first partial derivatives. In general relativity, the connection plays the role of the gravitational force field with the corresponding gravitational potential being the metric tensor. When the coordinate system and the metric tensor share some symmetry, many of the Γ^(i)jk are zero. The Christoffel symbols are named for Elwin Bruno Christoffel (1829–1900).

Примечание

Определения, приведенные ниже, справедливы как для римановых, так и для псевдоримановых многообразий, таких как используемые в общей теории относительности, при этом делается четкое различие между верхними и нижними индексами (контравариантными и ковариантными индексами). Формулы верны для любой знаковой конвенции, если не оговорено иное. В данной статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании, а векторы обозначаются полужирным шрифтом. Коэффициенты связности связности Леви-Чивиты (или псевдоримановой связности), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля.

Общее определение

Символы Кристоффеля имеют два вида: символы первого рода и символы второго рода. Определение символов второго рода является более фундаментальным и поэтому приводится вначале.

В общей теории относительности

Символы Кристоффеля широко используются в теории относительности Эйнштейна, где пространство-время представляется как искривлённое 4-мерное лоренцево многообразие с соединением Леви-Чивиты. Уравнения Эйнштейна, определяющие геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи, поэтому вычисление символов Кристоффеля необходимо. Как только геометрия определена, траектории частиц и световых лучей рассчитываются путём решения геодезических уравнений, в которых символы Кристоффеля явно присутствуют.

В земной поверхности

При наличии сферической системы координат, описывающей точки на поверхности Земли (приближенной к идеальной сфере). Для точки x, R – расстояние до центра Земли (обычно приблизительно равное радиусу Земли). θ и φ – широта и долгота соответственно. Положительные значения θ соответствуют северному полушарию. Для упрощения вычислений производных углы задаются в радианах (где d sin(x)/dx = cos(x), а градусы вводят дополнительный множитель 360 / 2π). В любой точке касательные направления – (вверх), (на север) и (на восток); также можно использовать индексы 1, 2, 3. Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество данной системы координат, которое не является общим правилом.