Спиноры и представление спин-группы

Введение

Не тензорное представление спиновой группы; описывает фермионы в физике. В геометрии и физике спиноры (/s//p//ɪ//n//ɚ/) — это элементы векторного пространства, построенного на комплексных числах, которые могут быть ассоциированы с евклидовым пространством. Спинор преобразуется линейно при малом (бесконечно малом) вращении евклидова пространства, но, в отличие от геометрических векторов и тензоров, спинор преобразуется в свой антипод при вращении пространства на 360° (см. рисунок). Для возврата спинора в исходное состояние требуется вращение на 720°. Это свойство характеризует спиноры: их можно рассматривать как «квадратные корни» векторов (хотя это неточно и может ввести в заблуждение; более правильно рассматривать их как «квадратные корни» сечений векторных расслоений – в случае расслоения внешней алгебры кокасательного расслоения, они таким образом становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм). Возможно также связать аналогичное понятие спинора с пространством Минковского, где преобразования Лоренца специальной теории относительности играют роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания внутреннего углового момента, или «спина», электрона и других субатомных частиц. Спиноры характеризуются специфическим поведением при вращениях. Они изменяются по-разному, в зависимости не только от конечного вращения, но и от деталей его осуществления (по непрерывному пути в группе вращений). Существуют два топологически различных класса (класса гомотопии) путей, приводящих к одному и тому же вращению, что иллюстрируется головоломкой с поясом. Эти два неэквивалентных класса приводят к спинорным преобразованиям с противоположным знаком. Спиновая группа — это группа всех вращений, учитывающих класс гомотопии. Она является двулистным накрытием группы вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами как конечная точка пути. Пространство спиноров по определению снабжено (комплексным) линейным представлением спиновой группы, то есть элементы спиновой группы действуют как линейные преобразования на пространстве спиноров, зависящие от класса гомотопии. В математических терминах спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращений SO(3). Хотя спиноры можно определить исключительно как элементы пространства представления спиновой группы (или её алгебры Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, несущего линейное представление алгебры Клиффорда. Алгебра Клиффорда — это ассоциативная алгебра, которую можно построить из евклидова пространства и его скалярного произведения независимо от выбора базиса. Как спиновая группа, так и её алгебра Ли естественным образом вкладываются в алгебру Клиффорда, и в приложениях часто проще работать именно с алгеброй Клиффорда. Пространство Клиффорда действует на спинорное пространство, а элементы спинорного пространства являются спинорами. После выбора ортонормального базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда генерируется гамма-матрицами — матрицами, удовлетворяющими набору канонических антикоммутационных соотношений. Спиноры — это столбец-векторы, на которые действуют эти матрицы. Например, в трех евклидовых измерениях матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц, а двухкомпонентные комплексные столбец-векторы, на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, и, следовательно, то, что именно представляет собой «столбец-вектор» (или спинор), существенно зависит от выбора базиса и гамма-матриц. Как представление спиновой группы, эта реализация спиноров в виде (комплексных) столбец-векторов будет либо неприводимой, если размерность нечетна, либо разложится на пару так называемых «полуспиновых» или вейлевских представлений, если размерность четна.

Non tensorial representation of the spin group; represents fermions in physics

In geometry and physics, spinors (/s//p//ɪ//n//ɚ/) are elements of a complex number based vector space that can be associated with Euclidean space. A spinor transforms linearly when the Euclidean space is subjected to a slight (infinitesimal) rotation, but unlike geometric vectors and tensors, a spinor transforms to its negative when the
space rotates through 360° (see picture). It takes a rotation of 720° for a spinor to go back to its original state. This property characterizes spinors: spinors can be viewed as the "square roots" of vectors (although this is inaccurate and may be misleading; they are better viewed as "square roots" of sections of vector bundles – in the case of the exterior algebra bundle of the cotangent bundle, they thus become "square roots" of differential forms). It is also possible to associate a substantially similar notion of spinor to Minkowski space, in which case the Lorentz transformations of special relativity play the role of rotations. Spinors were introduced in geometry by Élie Cartan in 1913. In the 1920s physicists discovered that spinors are essential to describe the intrinsic angular momentum, or "spin", of the electron and other subatomic particles. Spinors are characterized by the specific way in which they behave under rotations. They change in different ways depending not just on the overall final rotation, but the details of how that rotation was achieved (by a continuous path in the rotation group). There are two topologically distinguishable classes (homotopy classes) of paths through rotations that result in the same overall rotation, as illustrated by the belt trick puzzle. These two inequivalent classes yield spinor transformations of opposite sign. The spin group is the group of all rotations keeping track of the class. It doubly covers the rotation group, since each rotation can be obtained in two inequivalent ways as the endpoint of a path. The space of spinors by definition is equipped with a (complex) linear representation of the spin group, meaning that elements of the spin group act as linear transformations on the space of spinors, in a way that genuinely depends on the homotopy class. In mathematical terms, spinors are described by a double valued projective representation of the rotation group SO(3). Although spinors can be defined purely as elements of a representation space of the spin group (or its Lie algebra of infinitesimal rotations), they are typically defined as elements of a vector space that carries a linear representation of the Clifford algebra. The Clifford algebra is an associative algebra that can be constructed from Euclidean space and its inner product in a basis independent way. Both the spin group and its Lie algebra are embedded inside the Clifford algebra in a natural way, and in applications the Clifford algebra is often the easiest to work with. A Clifford space operates on a spinor space, and the elements of a spinor space are spinors. After choosing an orthonormal basis of Euclidean space, a representation of the Clifford algebra is generated by gamma matrices, matrices that satisfy a set of canonical anti commutation relations. The spinors are the column vectors on which these matrices act. In three Euclidean dimensions, for instance, the Pauli spin matrices are a set of gamma matrices, and the two component complex column vectors on which these matrices act are spinors. However, the particular matrix representation of the Clifford algebra, hence what precisely constitutes a "column vector" (or spinor), involves the choice of basis and gamma matrices in an essential way. As a representation of the spin group, this realization of spinors as (complex) column vectors will either be irreducible if the dimension is odd, or it will decompose into a pair of so called "half spin" or Weyl representations if the dimension is even.

Введение

То, что характеризует спиноры и отличает их от геометрических векторов и других тензоров, является тонким моментом. Рассмотрим применение вращения к координатам системы. Ни один объект в самой системе не перемещается, изменяются только координаты, поэтому при применении к любому объекту системы всегда будет компенсирующее изменение этих координатных значений. Геометрические векторы, например, имеют компоненты, которые претерпевают то же вращение, что и координаты. В более широком смысле, любой тензор, связанный с системой (например, напряжение в некоторой среде), также имеет координатные представления, которые корректируются для компенсации изменений в самой системе координат. Спиноры не проявляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах единственного изолированного вращения координат. Скорее, спиноры возникают, когда мы представляем, что система координат постепенно (непрерывно) вращается между некоторой начальной и конечной конфигурацией, а не совершает однократное вращение. Для любой из привычных и интуитивно понятных ("тензорных") величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от конкретных деталей того, как координаты достигли своей конечной конфигурации. С другой стороны, спиноры построены таким образом, что они чувствительны к тому, как постепенное вращение координат привело к этой конфигурации: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, для любой конечной конфигурации координат существует фактически два ("топологически") неэквивалентных постепенных (непрерывных) вращения системы координат, приводящих к той же конфигурации. Эта неоднозначность называется классом гомотопии постепенного вращения. Трюк с ремнем (демонстрируется, где оба конца вращающегося объекта физически прикреплены к внешней точке отсчета) показывает, что два различных вращения – одно на угол 2π, а другое на угол 4π – имеют одинаковые конечные конфигурации, но принадлежат к разным классам. Спиноры действительно демонстрируют изменение знака, которое подлинно зависит от этого класса гомотопии. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых не чувствителен к этому классу. Спиноры можно представить как конкретные объекты, выбрав декартову систему координат. Например, в трех евклидовых измерениях спиноры можно построить, выбрав матрицы Паули, соответствующие (угловым моментам относительно) трех координатных осей. Это матрицы 2×2 с комплексными элементами, а двумерные комплексные столбцовые векторы, на которые эти матрицы действуют посредством умножения матриц, и являются спинорами. В этом случае спиновая группа изоморфна группе 2×2 унитарных матриц с детерминантом, равным единице, которая естественно вложена в матричную алгебру. Эта группа действует сопряжением на вещественное векторное пространство, порожденное самими матрицами Паули, реализуя его как группу вращений между ними, но она также действует на столбцовые векторы (то есть на спиноры). В более общем виде алгебра Клиффорда может быть построена для любого векторного пространства V, снабженного (невырожденной) квадратичной формой, например, евклидова пространства с его стандартным скалярным произведением или пространства Минковского с его стандартной метрикой Лоренца. Пространство спиноров – это пространство столбцовых векторов с компонентами. Ортогональная алгебра Ли (то есть бесконечно малые "вращения") и спиновая группа, связанные с квадратичной формой, обе (канонически) содержатся в алгебре Клиффорда, поэтому каждое представление алгебры Клиффорда также определяет представление алгебры Ли и спиновой группы. В зависимости от размерности и метрической сигнатуры эта реализация спиноров как столбцовых векторов может быть неприводимой или разлагаться на пару так называемых "полуспиновых" или представлений Вейля. Когда векторное пространство V четырехмерно, алгебра описывается гамма-матрицами.

What characterizes spinors and distinguishes them from geometric vectors and other tensors is subtle. Consider applying a rotation to the coordinates of a system. No object in the system itself has moved, only the coordinates have, so there will always be a compensating change in those coordinate values when applied to any object of the system. Geometrical vectors, for example, have components that will undergo the same rotation as the coordinates. More broadly, any tensor associated with the system (for instance, the stress of some medium) also has coordinate descriptions that adjust to compensate for changes to the coordinate system itself. Spinors do not appear at this level of the description of a physical system, when one is concerned only with the properties of a single isolated rotation of the coordinates. Rather, spinors appear when we imagine that instead of a single rotation, the coordinate system is gradually (continuously) rotated between some initial and final configuration. For any of the familiar and intuitive ("tensorial") quantities associated with the system, the transformation law does not depend on the precise details of how the coordinates arrived at their final configuration. Spinors, on the other hand, are constructed in such a way that makes them sensitive to how the gradual rotation of the coordinates arrived there: They exhibit path dependence. It turns out that, for any final configuration of the coordinates, there are actually two ("topologically") inequivalent gradual (continuous) rotations of the coordinate system that result in this same configuration. This ambiguity is called the homotopy class of the gradual rotation. The belt trick (shown, in which both ends of the rotated object are physically tethered to an external reference) demonstrates two different rotations, one through an angle of 2π and the other through an angle of 4π, having the same final configurations but different classes. Spinors actually exhibit a sign reversal that genuinely depends on this homotopy class. This distinguishes them from vectors and other tensors, none of which can feel the class. Spinors can be exhibited as concrete objects using a choice of Cartesian coordinates. In three Euclidean dimensions, for instance, spinors can be constructed by making a choice of Pauli spin matrices corresponding to (angular momenta about) the three coordinate axes. These are 2×2 matrices with complex entries, and the two component complex column vectors on which these matrices act by matrix multiplication are the spinors. In this case, the spin group is isomorphic to the group of 2×2 unitary matrices with determinant one, which naturally sits inside the matrix algebra. This group acts by conjugation on the real vector space spanned by the Pauli matrices themselves, realizing it as a group of rotations among them, but it also acts on the column vectors (that is, the spinors). More generally, a Clifford algebra can be constructed from any vector space V equipped with a (nondegenerate) quadratic form, such as Euclidean space with its standard dot product or Minkowski space with its standard Lorentz metric. The space of spinors is the space of column vectors with components. The orthogonal Lie algebra (i. e., the infinitesimal "rotations") and the spin group associated to the quadratic form are both (canonically) contained in the Clifford algebra, so every Clifford algebra representation also defines a representation of the Lie algebra and the spin group. Depending on the dimension and metric signature, this realization of spinors as column vectors may be irreducible or it may decompose into a pair of so called "half spin" or Weyl representations. When the vector space V is four dimensional, the algebra is described by the gamma matrices.

Математическое определение

Пространство спиноров формально определяется как фундаментальное представление алгебры Клиффорда. (Это представление может или не может разлагаться на неприводимые представления.) Пространство спиноров также может быть определено как спинорное представление ортогональной алгебры Ли. Эти спинорные представления также характеризуются как конечномерные проективные представления специальной ортогональной группы, не факторизующиеся через линейные представления. Эквивалентно, спинор — это элемент конечномерного группового представления спиновой группы, на котором центр действует нетривиально.

Обзор

Существуют, по сути, два подхода к пониманию спиноров: теоретико-групповой и геометрический.

Теоретическая точка зрения представления

С точки зрения теории представлений, заранее известно, что существуют представления алгебры Ли ортогональной группы, которые нельзя построить с помощью обычных тензорных конструкций. Эти отсутствующие представления называются спиноровыми представлениями, а их компоненты – спинорами. С этой точки зрения, спинор должен принадлежать представлению двойного накрытия группы вращений SO(n) или, в более общем случае, двойного накрытия обобщенной специальной ортогональной группы SO⁺(p, q) на пространствах с метрической сигнатурой (p, q). Эти двойные накрытия являются группами Ли, называемыми спиновыми группами Spin(n) или Spin(p, q). Все свойства спиноров, их применения и связанные с ними объекты проявляются прежде всего в спиновой группе. Представления двойных накрытий этих групп дают двузначные проективные представления самих групп. (Это означает, что действие конкретного вращения на векторы в квантовом гильбертовом пространстве определено лишь с точностью до знака.) В итоге, для представления, заданного данными, где V – векторное пространство над ℂ или ℝ, а φ – гомоморфизм, спинор является элементом векторного пространства V.

Геометрическая точка зрения

С геометрической точки зрения можно явно построить спиноры и затем исследовать их поведение при действии соответствующих групп Ли. Этот подход имеет то преимущество, что он обеспечивает наглядное и элементарное описание спинора. Однако такое описание становится неудобным при необходимости учитывать сложные свойства спиноров, например, тождества Фирца.

Алгебры Клиффорда

Язык клиффордских алгебр (иногда называемый геометрическими алгебрами) дает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп и различных соотношений между этими представлениями посредством классификации клиффордских алгебр. Это существенно снижает необходимость в ad hoc конструкциях. В частности, пусть V – конечномерное комплексное векторное пространство с вырожденной симметричной билинейной формой g. Клиффордова алгебра Cl(V, g) – это алгебра, порожденная V вместе с антикоммутационным соотношением xy + yx = 2g(x, y). Это абстрактная версия алгебры, порожденной гамма- или матрицами Паули. Если V = ℂⁿ со стандартной формой g(x, y) = xᵀy = x₁y₁ + … + xₙyₙ, мы обозначаем клиффордову алгебру как Clₙ. Поскольку при выборе ортонормального базиса каждое комплексное векторное пространство с невырожденной формой изоморфно этому стандартному примеру, данное обозначение обобщается и на случай, когда dim(V) = n. Если n = 2k – четное число, то Clₙ изоморфна как алгебра (не единственным образом) алгебре Mat(2ᵏ, ℂ) комплексных матриц размера 2ᵏ × 2ᵏ (по теореме Артина — Веддерберна и легко доказуемому факту, что клиффордова алгебра является центрально простой). Если n = 2k + 1 – нечетное число, то Cl₂ₖ₊₁ изоморфна алгебре Mat(2ᵏ, ℂ) ⊕ Mat(2ᵏ, ℂ), состоящей из двух копий комплексных матриц размера 2ᵏ × 2ᵏ. Следовательно, в любом случае Cl(V, g) имеет единственное (с точностью до изоморфизма) неприводимое представление (также называемое простым клиффордовским модулем), обычно обозначаемое Δ, размерности 2⌊ⁿ/₂⌋. Поскольку алгебра Ли so(V, g) вложена как подалгебра Ли в Cl(V, g), снабженную коммутатором клиффордовой алгебры в качестве скобки Ли, пространство Δ также является представлением алгебры Ли so(V, g), называемым спиновым представлением. Если n нечетно, это представление алгебры Ли неприводимо. Если n четно, оно расщепляется на два неприводимых представления Δ = Δ⁺ ⊕ Δ⁻, называемые представлениями Вейля или полуспиновыми представлениями. Неприводимые представления над действительными числами в случае, когда V – действительное векторное пространство, гораздо сложнее, и читателю рекомендуется обратиться к статье о клиффордовых алгебрах для получения более подробной информации.

The language of Clifford algebras (sometimes called geometric algebras) provides a complete picture of the spin representations of all the spin groups, and the various relationships between those representations, via the classification of Clifford algebras. It largely removes the need for ad hoc constructions. In detail, let V be a finite dimensional complex vector space with nondegenerate symmetric bilinear form g. The Clifford algebra Cℓ(V, g) is the algebra generated by V along with the anticommutation relation 1=xy + yx = 2g(x, y). It is an abstract version of the algebra generated by the gamma or Pauli matrices. If V = , with the standard form 1=g(x, y) = x^(T)y = x1y1 + + xnyn we denote the Clifford algebra by Cℓn Since by the choice of an orthonormal basis every complex vectorspace with non degenerate form is isomorphic to this standard example, this notation is abused more generally if 1=dim(V) = n. If 1=n = 2k is even, Cℓn is isomorphic as an algebra (in a non unique way) to the algebra Mat(2^(k), ) of 2^(k) × 2^(k) complex matrices (by the Artin–Wedderburn theorem and the easy to prove fact that the Clifford algebra is central simple). If 1=n = 2k + 1 is odd, Cℓ2k+1 is isomorphic to the algebra Mat(2^(k), ) ⊕ Mat(2^(k), ) of two copies of the 2^(k) × 2^(k) complex matrices. Therefore, in either case Cℓ(V, g) has a unique (up to isomorphism) irreducible representation (also called simple Clifford module), commonly denoted by Δ, of dimension 2[n/2]. Since the Lie algebra 'so'(V, g) is embedded as a Lie subalgebra in Cℓ(V, g) equipped with the Clifford algebra commutator as Lie bracket, the space Δ is also a Lie algebra representation of 'so'(V, g) called a spin representation. If n is odd, this Lie algebra representation is irreducible. If n is even, it splits further into two irreducible representations 1=Δ = Δ+ ⊕ Δ− called the Weyl or half spin representations. Irreducible representations over the reals in the case when V is a real vector space are much more intricate, and the reader is referred to the Clifford algebra article for more details.

Группы спина

Спиноры образуют векторное пространство, обычно над комплексными числами, снабженное линейным групповым представлением спиновой группы, которое не факторизуется через представление группы вращений (см. диаграмму). Спиновая группа — это группа вращений, учитывающая класс гомотопии. Спиноры необходимы для кодирования фундаментальной информации о топологии группы вращений, поскольку эта группа не является односвязной, а односвязная спиновая группа является её двойным накрытием. Таким образом, каждому вращению соответствуют два элемента спиновой группы, представляющие его. Геометрические векторы и другие тензоры не различают эти два элемента, но они дают противоположные знаки при воздействии на любой спинор в рамках данного представления. Если рассматривать элементы спиновой группы как классы гомотопии однопараметрических семейств вращений, то каждое вращение представляется двумя различными классами гомотопии путей к единичному элементу. Если однопараметрическое семейство вращений представить в виде ленты в пространстве, где параметр длины дуги ленты является параметром (а её касательный, нормальный и бинормальный триэдр фактически задает вращение), то эти два различных класса гомотопии визуализируются в двух состояниях головоломки с перекручиванием ленты (выше). Пространство спиноров — это вспомогательное векторное пространство, которое можно явно построить в координатах, но в конечном итоге существует только с точностью до изоморфизма, поскольку не существует "естественной" конструкции, не зависящей от произвольного выбора, например, системы координат. Понятие спиноров, как такового вспомогательного математического объекта, может быть связано с любым векторным пространством, снабженным квадратичной формой, например, с евклидовым пространством и его стандартным скалярным произведением или с пространством Минковского и его метрикой Лоренца. В последнем случае "вращения" включают в себя преобразования Лоренца, но в остальном теория в значительной степени аналогична.

Спинорные поля в физике

Конструкции, приведенные выше, с точки зрения клиффордовой алгебры или теории представлений, можно рассматривать как определяющие спиноры как геометрические объекты в пространстве-времени нулевой размерности. Для получения спиноров, используемых в физике, таких как спинор Дирака, необходимо расширить эту конструкцию для получения спиновой структуры на 4-мерном пространстве-времени (пространстве Минковского). Фактически, начинают с тангенциального многообразия пространства-времени, каждая точка которого является 4-мерным векторным пространством с симметрией SO(3,1), а затем строят спиновую группу в каждой точке. Окрестности точек наделяются понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция представляет собой расслоение, волокна которого являются аффинными пространствами, преобразующимися относительно спиновой группы. После построения расслоения можно рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как уравнение Дирака или уравнение Вейля, на этом расслоении. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения в виде плоских волн, обладающих симметриями, характерными для волокон, то есть симметриями спиноров, полученными из (нулевой размерности) клиффордовой алгебры/теории спиновых представлений, описанной выше. Такие решения в виде плоских волн (или другие решения) дифференциальных уравнений можно корректно называть фермионами; фермионы обладают алгебраическими свойствами спиноров. По общепринятому соглашению, термины "фермион" и "спинор" часто используются взаимозаменяемо в физике как синонимы. Похоже, что все фундаментальные частицы в природе со спином 1/2 описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино. Не представляется никаких априорных оснований для такого положения дел. Вполне допустимым выбором для спиноров была бы некомплексифицированная версия Cl2,2 – спинор Майораны. Также не видно никаких особых препятствий для существования спиноров Вейля в природе в качестве фундаментальных частиц. Спиноры Дирака, Вейля и Майораны взаимосвязаны, и их связь можно прояснить на основе реальной геометрической алгебры. Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, в то время как спиноры Майораны – реальными. Спиноров Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны, поскольку решения Вейля в виде плоских волн неизбежно движутся со скоростью света; для массивных частиц необходимо уравнение Дирака. Исходная конструкция Стандартной модели физики частиц начинается с того, что и электрон, и нейтрино являются безмассовыми спинорами Вейля; механизм Хиггса придает электронам массу; классическое нейтрино оставалось безмассовым и, следовательно, являлось примером спинора Вейля. Однако, в связи с наблюдаемыми осцилляциями нейтрино, сейчас считается, что они не являются спинорами Вейля, а, возможно, спинорами Майораны. Неизвестно, существуют ли в природе фундаментальные частицы, являющиеся спинорами Вейля. Ситуация в физике конденсированного состояния иная: можно построить двумерные и трехмерные «пространства-времена» в широком разнообразии различных физических материалов, от полупроводников до гораздо более экзотических материалов. В 2015 году международная группа ученых под руководством исследователей из Принстонского университета объявила об обнаружении квазичастицы, поведение которой соответствует фермиону Вейля.

The constructions given above, in terms of Clifford algebra or representation theory, can be thought of as defining spinors as geometric objects in zero dimensional space time. To obtain the spinors of physics, such as the Dirac spinor, one extends the construction to obtain a spin structure on 4 dimensional space time (Minkowski space). Effectively, one starts with the tangent manifold of space time, each point of which is a 4 dimensional vector space with SO(3,1) symmetry, and then builds the spin group at each point. The neighborhoods of points are endowed with concepts of smoothness and differentiability: the standard construction is one of a fiber bundle, the fibers of which are affine spaces transforming under the spin group. After constructing the fiber bundle, one may then consider differential equations, such as the Dirac equation, or the Weyl equation on the fiber bundle. These equations (Dirac or Weyl) have solutions that are plane waves, having symmetries characteristic of the fibers, i. e. having the symmetries of spinors, as obtained from the (zero dimensional) Clifford algebra/spin representation theory described above. Such plane wave solutions (or other solutions) of the differential equations can then properly be called fermions; fermions have the algebraic qualities of spinors. By general convention, the terms "fermion" and "spinor" are often used interchangeably in physics, as synonyms of one another. It appears that all fundamental particles in nature that are spin 1/2 are described by the Dirac equation, with the possible exception of the neutrino. There does not seem to be any a priori reason why this would be the case. A perfectly valid choice for spinors would be the non complexified version of Cℓ2,2 , the Majorana spinor. There also does not seem to be any particular prohibition to having Weyl spinors appear in nature as fundamental particles. The Dirac, Weyl, and Majorana spinors are interrelated, and their relation can be elucidated on the basis of real geometric algebra. Dirac and Weyl spinors are complex representations while Majorana spinors are real representations. Weyl spinors are insufficient to describe massive particles, such as electrons, since the Weyl plane wave solutions necessarily travel at the speed of light; for massive particles, the Dirac equation is needed. The initial construction of the Standard Model of particle physics starts with both the electron and the neutrino as massless Weyl spinors; the Higgs mechanism gives electrons a mass; the classical neutrino remained massless, and was thus an example of a Weyl spinor. However, because of observed neutrino oscillation, it is now believed that they are not Weyl spinors, but perhaps instead Majorana spinors. It is not known whether Weyl spinor fundamental particles exist in nature. The situation for condensed matter physics is different: one can construct two and three dimensional "spacetimes" in a large variety of different physical materials, ranging from semiconductors to far more exotic materials. In 2015, an international team led by Princeton University scientists announced that they had found a quasiparticle that behaves as a Weyl fermion.

Спиноры в теории представления

Одно из основных математических применений построения спиноров — это возможность явного построения линейных представлений алгебр Ли специальных ортогональных групп и, как следствие, спинорных представлений самих групп. На более глубоком уровне спиноры оказались в основе подходов к теореме об индексе Атия — Сингера и предоставляют конструкции, в частности, для дискретных серий представлений полупростых групп. Спинорные представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензорных представлений, полученных построением Вейля, по весам. В то время как веса тензорных представлений являются целочисленными линейными комбинациями корней алгебры Ли, веса спинорных представлений являются полуцелочисленными линейными комбинациями этих корней. Подробную информацию можно найти в статье о спинорном представлении.

Попытки интуитивного понимания

Спинор можно описать простым языком как «векторы пространства, преобразования которых связаны особым образом с вращениями в физическом пространстве». Другими словами: спиноры обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом измерений, каждый спинор имеет компоненты, где n = 2^k (k – целое число).

История

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картаном в 1913 году. Слово "спинор" было придумано Полом Эренфестом в его работе по квантовой физике. Спиноры впервые были применены в математической физике Вольфгангом Паули в 1927 году, когда он представил свои спиновые матрицы. В следующем году Пол Дирак открыл полностью релятивистскую теорию спина электрона, показав связь между спинорами и группой Лоренца. К 1930-м годам Дирак, Пит Хайн и другие в Институте Нильса Бора (тогда известном как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создали игрушки, такие как Танглоиды, для обучения и моделирования исчисления спиноров. Спинорные пространства были представлены как левые идеалы матричной алгебры в 1930 году Густавом Жуветом и Фрицем Саутером. Более конкретно, вместо представления спиноров как комплекснозначных 2D-столбцов, как это сделал Паули, они представили их как комплекснозначные матрицы 2 × 2, в которых ненулевыми являются только элементы левого столбца. Таким образом, спинорное пространство стало минимальным левым идеалом в Mat(2, ). В 1947 году Марсель Риесс построил спинорные пространства как элементы минимального левого идеала алгебры Клиффорда. В 1966/1967 годах Дэвид Хестенс заменил спинорные пространства на четную субальгебру Cℓ01,3 пространственно-временной алгебры Cℓ1,3. Таким образом, спинорные представления отождествляются с определенными подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход заключается в построении векторного пространства с использованием выделенного подпространства V, а затем в определении действия алгебры Клиффорда внешне по отношению к этому векторному пространству. В любом подходе фундаментальным понятием является понятие изотропного подпространства W. Каждая конструкция зависит от начальной свободы в выборе этого подпространства. В физическом смысле это соответствует тому факту, что не существует протокола измерения, который мог бы задать базис спинового пространства, даже если задан предпочтительный базис V. Как и выше, пусть (V, g) будет n-мерным комплексным векторным пространством, оснащенным вырожденной двулинейной формой. Если V является вещественным векторным пространством, то мы заменяем V его комплексификацией и обозначаем g индуцированную двулинейную форму на V. Пусть W будет максимальным изотропным подпространством, то есть максимальным подпространством V, таким что если n = 2k – четное, то пусть будет изотропным подпространством, дополняющим W. Если n = 2k + 1 – нечетное, пусть будет максимальным изотропным подпространством с , и пусть U будет ортогональным дополнением к . В обоих случаях, четном и нечетном, W и имеют размерность k. В нечетном случае U является одномерным и порождается единичным вектором u.

The most general mathematical form of spinors was discovered by Élie Cartan in 1913. The word "spinor" was coined by Paul Ehrenfest in his work on quantum physics. Spinors were first applied to mathematical physics by Wolfgang Pauli in 1927, when he introduced his spin matrices. The following year, Paul Dirac discovered the fully relativistic theory of electron spin by showing the connection between spinors and the Lorentz group. By the 1930s, Dirac, Piet Hein and others at the Niels Bohr Institute (then known as the Institute for Theoretical Physics of the University of Copenhagen) created toys such as Tangloids to teach and model the calculus of spinors. Spinor spaces were represented as left ideals of a matrix algebra in 1930, by Gustave Juvett and by Fritz Sauter. More specifically, instead of representing spinors as complex valued 2D column vectors as Pauli had done, they represented them as complex valued 2 × 2 matrices in which only the elements of the left column are non zero. In this manner the spinor space became a minimal left ideal in Mat(2, ). In 1947 Marcel Riesz constructed spinor spaces as elements of a minimal left ideal of Clifford algebras. In 1966/1967, David Hestenes replaced spinor spaces by the even subalgebra Cℓ01,3 of the spacetime algebra Cℓ1,3 In this way, the spinor representations are identified with certain subspaces of the Clifford algebra itself. The second approach is to construct a vector space using a distinguished subspace of V, and then specify the action of the Clifford algebra externally to that vector space. In either approach, the fundamental notion is that of an isotropic subspace W. Each construction depends on an initial freedom in choosing this subspace. In physical terms, this corresponds to the fact that there is no measurement protocol that can specify a basis of the spin space, even if a preferred basis of V is given. As above, we let (V, g) be an n dimensional complex vector space equipped with a nondegenerate bilinear form. If V is a real vector space, then we replace V by its complexification and let g denote the induced bilinear form on Let W be a maximal isotropic subspace, i. e. a maximal subspace of V such that If 1=n = 2k is even, then let be an isotropic subspace complementary to W. If 1=n = 2k + 1 is odd, let be a maximal isotropic subspace with , and let U be the orthogonal complement of In both the even and odd dimensional cases W and have dimension k. In the odd dimensional case, U is one dimensional, spanned by a unit vector u.

Гермитовские векторные пространства и спиноры

Если векторное пространство V обладает дополнительной структурой, обеспечивающей разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, то определение спиноров (любым из способов) становится естественным. Основным примером является случай, когда вещественное векторное пространство V является эрмитовым векторным пространством (V, h), то есть V снабжено комплексной структурой J, являющейся ортогональным преобразованием относительно внутреннего произведения g на V. Тогда пространство расщепляется на собственные подпространства J, соответствующие собственным значениям ±i. Эти собственные подпространства изотропны относительно комплексификации g и могут быть отождествлены со сложным векторным пространством (V, J) и его комплексно сопряженным (V, −J). Следовательно, для эрмитова векторного пространства (V, h) векторное пространство (а также его комплексно сопряженное) является спинорным пространством для лежащего в основе вещественного евклидова векторного пространства. При действии Клиффорда, как описано выше, но с использованием стягивания посредством эрмитовой формы, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке почти эрмитова многообразия и объясняет, почему каждое почти комплексное многообразие (в частности, каждое симплектическое многообразие) имеет структуру Spinc. Аналогично, каждый комплексный векторный расслоение на многообразии несет структуру Spinc.

Последствия

Существует множество далеко идущих последствий разложения Клебша — Гордана спинорных пространств. Наиболее фундаментальные из них связаны с теорией электрона Дирака, среди основных требований которой:

Рассматривать произведение двух спиноров ψ как скаляр. В физическом смысле, спинор должен определять амплитуду вероятности для квантового состояния. Рассматривать произведение ψ как вектор. Это существенная особенность теории Дирака, которая связывает спинорный формализм с геометрией физического пространства. Рассматривать спинор как действующий на вектор, например, в виде ψv. В физическом смысле, это представляет собой электрический ток электромагнитной теории Максвелла, или, в более общем случае, ток вероятности.