Введение

Присвоение чисел точкам в пространстве

В математике и физике скалярное поле — это функция, ставящая в соответствие каждому пункту пространства (возможно, физического пространства) единственное число. Этот скаляр может быть чисто математическим числом (безразмерным) или скалярной физической величиной (имеющей размерность). В физическом контексте скалярные поля должны быть независимы от выбора системы отсчета. Это означает, что любые два наблюдателя, использующие одни и те же единицы измерения, согласуются относительно значения скалярного поля в одной и той же абсолютной точке пространства (или пространства-времени), независимо от их собственных начал отсчета. Примеры, используемые в физике, включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля со спином ноль, такие как поле Хиггса. Эти поля являются предметом изучения скалярной теории поля.

Определение

Математически, скалярное поле на области U представляет собой функцию, принимающую действительные или комплексные значения, или распределение на U. Область U может быть множеством в некотором евклидовом пространстве, пространстве Минковского или, в более общем случае, подмножеством многообразия. В математике обычно накладывают дополнительные условия на поле, такие как непрерывность или, чаще, непрерывная дифференцируемость до определенного порядка. Скалярное поле является тензорным полем нулевого ранга, и термин "скалярное поле" используется для различения функции такого типа от более общего тензорного поля, плотности или дифференциальной формы. С физической точки зрения, скалярное поле дополнительно характеризуется наличием связанных с ним единиц измерения. В этом контексте скалярное поле также должно быть независимым от системы координат, используемой для описания физической системы – то есть, любые два наблюдателя, использующие одни и те же единицы измерения, должны получать одинаковое численное значение скалярного поля в любой заданной точке физического пространства. Скалярные поля противопоставляются другим физическим величинам, таким как векторные поля, которые сопоставляют вектор каждой точке области, а также тензорным полям и спинорным полям. Более тонкое различие проводится между скалярными полями и псевдоскалярными полями.

Применение в физике

В физике скалярные поля часто описывают потенциальную энергию, связанную с той или иной силой. Сама сила является векторным полем, которое можно получить как фактор градиента скалярного поля потенциальной энергии. Примеры включают:
Поля потенциалов, такие как ньютоновский гравитационный потенциал или электрический потенциал в электростатике, – это скалярные поля, описывающие более привычные силы. Также к ним относятся поля температуры, влажности или давления, используемые, например, в метеорологии.

Примеры в квантовой теории и теории относительности

В квантовой теории поля скалярное поле связано с частицами со спином 0. Скалярное поле может быть вещественным или комплексным. Комплексные скалярные поля представляют заряженные частицы. К ним относятся поле Хиггса Стандартной модели, а также заряженные пионы, опосредующие сильное ядерное взаимодействие. В Стандартной модели элементарных частиц скалярное поле Хиггса используется для придания массы лептонам и массивным векторным бозонам посредством комбинации взаимодействия Юкавы и спонтанного нарушения симметрии. Этот механизм известен как механизм Хиггса. Кандидат на бозон Хиггса был впервые обнаружен в ЦЕРНе в 2012 году. В скалярных теориях гравитации скалярные поля используются для описания гравитационного поля. Скалярно-тензорные теории описывают гравитационное взаимодействие как посредством тензора, так и посредством скаляра. Примерами таких попыток являются теория Джордана как обобщение теории Калуца — Клейна и теория Бранса — Дикке. Скалярные поля, такие как поле Хиггса, могут быть найдены в рамках скалярно-тензорных теорий, используя в качестве скалярного поля поле Хиггса Стандартной модели. Это поле взаимодействует гравитационно и подобно взаимодействию Юкавы (на коротких расстояниях) с частицами, получающими массу посредством него. Скалярные поля встречаются в суперструнных теориях в виде дилатонных полей, нарушающих конформную симметрию струны, но компенсирующих квантовые аномалии этого тензора. Предполагается, что скалярные поля вызвали быстрое ускоренное расширение ранней Вселенной (инфляцию), помогая решить проблему горизонта и предоставляя гипотетическое объяснение ненулевой космологической постоянной в космологии. Бесмассовые (т.е. дальнего действия) скалярные поля в этом контексте известны как инфлатоны. Также предлагаются массивные (т.е. короткодействующие) скалярные поля, например, поля, подобные полю Хиггса.

Другие виды полей

Векторные поля, которые сопоставляют вектор каждой точке в пространстве. Примеры векторных полей включают электромагнитное поле и воздушные потоки (ветер) в метеорологии. Тензорные поля, которые сопоставляют тензор каждой точке в пространстве. Например, в общей теории относительности гравитация связана с тензорным полем, называемым тензором Эйнштейна. В теории Калуца — Клейна пространство-время расширяется до пяти измерений, и его тензор кривизны Римана можно разделить на обычную четырехмерную гравитацию, плюс дополнительный набор, эквивалентный уравнениям Максвелла для электромагнитного поля, плюс дополнительное скалярное поле, известное как "дилатон". (Дилатонное скалярное поле также встречается среди безмассовых бозонных полей в теории струн.)