Тензор энергии-импульса в пространстве-времени

Введение

Тензор, описывающий плотность энергии и импульса в пространстве-времени. Тензор энергии-импульса, иногда называемый тензором напряжения-энергии-импульса или тензором энергии-напряжения, является тензорной физической величиной, описывающей плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени, обобщая тензор напряжений ньютоновской физики. Он является характеристикой материи, излучения и негравитационных силовых полей. Эта плотность и поток энергии и импульса служат источниками гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна общей теории относительности, подобно тому, как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации.

Определение

Тензор энергии-импульса включает использование переменных с надстрочным индексом (не степеней; см. обозначение тензорных индексов и обозначение суммирования Эйнштейна). Если используются декартовы координаты в системе СИ, то компоненты четырехвектора положения x задаются следующим образом: , где t – время в секундах, а x, y и z – расстояния в метрах. Тензор энергии-импульса определяется как тензор Tαβ второго ранга, который описывает поток α-й компоненты вектора импульса через поверхность с постоянной координатой xβ. В теории относительности этот вектор импульса рассматривается как четырехвектор импульса. В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен.

В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна — Картана, тензор энергии-импульса может быть не вполне симметричным из-за отличного от нуля тензора спина, который геометрически соответствует тензору кручения.

В общей теории относительности

В общей теории относительности симметричный тензор энергии-импульса выступает в качестве источника кривизны пространства-времени и является плотностью тока, связанной с калибровочными преобразованиями гравитации, которые представляют собой общие криволинейные преобразования координат. (Если присутствует кручение, то тензор перестает быть симметричным. Это соответствует случаю с ненулевым тензором спина в теории гравитации Эйнштейна — Картана.) В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменяются ковариантными производными. Это означает, что уравнение непрерывности больше не подразумевает абсолютного сохранения негравитационной энергии и импульса, выраженных тензором, то есть гравитационное поле может совершать работу над материей и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией, которая не входит в состав тензора, а импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау — Лифшица является единственным способом определения плотности энергии и импульса гравитационного поля. Любой такой псевдотензор энергии-импульса может быть локально обнулен посредством преобразования координат. В искривленном пространстве-времени пространственно-подобный интеграл в общем случае зависит от выбранного пространственно-подобного сечения. Фактически, не существует способа определить глобальный вектор энергии-импульса в общем искривленном пространстве-времени.

Тензор канонического напряженияэнергии

Теорема Нётер подразумевает существование сохраняющегося тока, связанного с переносами в пространстве и времени; подробности см. в разделе выше, посвященном тензору энергии-импульса в специальной теории относительности. Он называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, он несимметричен, и в случае калибровочной теории он может быть неинвариантен, поскольку пространственно-зависимые калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными переносами. В общей теории относительности переносы осуществляются относительно системы координат и, следовательно, не преобразуются ковариантно. См. раздел ниже, посвященный гравитационному псевдотензору энергии-импульса.

Тензор энергии напряжения Белинфанте-Розенфельда

При наличии спина или другого собственного углового момента канонический тензор энергии-импульса Ноэтера перестает быть симметричным. Тензор энергии-импульса Белинфанте — Розенфельда строится из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока таким образом, чтобы быть симметричным и сохранять закон сохранения. В общей теории относительности этот модифицированный тензор совпадает с тензором энергии-импульса Гильберта.

Энергия гравитационного напряжения

По принципу эквивалентности напряжение-энергия гравитационного поля всегда обращается в ноль локально в любой выбранной точке в заданной системе отсчета, следовательно, напряжение-энергия гравитационного поля не может быть выражена как ненулевой тензор; вместо этого необходимо использовать псевдотензор. В общей теории относительности существует множество различных определений псевдотензора напряжений-энергии-импульса гравитационного поля. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау — Лифшица. Псевдотензор Ландау — Лифшица может быть сведён к нулю в любой точке пространства-времени путем выбора подходящей системы координат.