Николас Майкл Кац: Жизнь и научные достижения выдающегося математика

Введение

Американский математик Николас Майкл Кац (родился 7 декабря 1943 года) — американский математик, работающий в области арифметической геометрии, в частности, над p-адическими методами, монодромией и задачами о модулях, а также в теории чисел. В настоящее время он является профессором математики в Принстонском университете и одним из редакторов журнала Annals of Mathematics.

Жизнь и творчество

Кац окончил Университет Джона Хопкинса (BA 1964) и Принстонский университет, где в 1965 году получил степень магистра, а в 1966 году – докторскую степень под руководством Бернарда Дворка, защитив диссертацию на тему «О дифференциальных уравнениях, удовлетворяемых матрицами периодов». После этого в Принстоне он был инструктором, ассистентом профессора в 1968 году, доцентом в 1971 году и профессором в 1974 году. С 2002 по 2005 год он занимал должность председателя факультета. Он также был приглашенным ученым в Университете Миннесоты, Университете Киото, Парижском университете VI, на факультете наук в Орсе, в Институте перспективных исследований и в IHES. Находясь во Франции, он адаптировал методы теории схем и теории категорий к теории модулярных форм. Впоследствии он применял геометрические методы к различным экспоненциальным суммам. С 1968 по 1969 год он был постдокторантом НАТО, с 1975 по 1976 год и с 1987 по 1988 год – стипендиатом Гуггенхайма, а с 1971 по 1972 год – стипендиатом Слоана. В 1970 году он выступил с приглашенным докладом на Международном конгрессе математиков в Ницце («Теорема о регулярности в алгебраической геометрии»), а в 1978 году в Хельсинки («p-адические L-функции, локальные модули Серра-Тейта и отношения решений дифференциальных уравнений»). С 2003 года он является членом Американской академии искусств и наук, а с 2004 года – Национальной академии наук. В 2003 году он был удостоен совместно с Питером Сарнаком премии Леви Л. Конанта Американского математического общества (AMS) за эссе «Нули дзета-функций и симметрия», опубликованное в Бюллетене Американского математического общества. С 2004 года он является редактором журнала Annals of Mathematics. В 2023 году он получил от AMS премию Лероя П. Стила за вклад в науку за всю жизнь. Он сыграл важную роль в качестве консультанта Эндрю Уайлса, когда тот тайно разрабатывал доказательство последней теоремы Ферма. Математик и криптограф Нил Коблиц был одним из его учеников. Кац, в частности, вместе с Сарнаком изучал связь между распределением собственных значений больших случайных матриц классических групп и распределением расстояний между нулями различных L- и дзета-функций в алгебраической геометрии. Он также исследовал тригонометрические суммы (гауссовы суммы) с использованием алгебро-геометрических методов. Он ввёл теорему о конечности Каца — Ланга.

Katz graduated from Johns Hopkins University (BA 1964) and from Princeton University, where in 1965 he received his master's degree and in 1966 he received his doctorate under supervision of Bernard Dwork with thesis On the Differential Equations Satisfied by Period Matrices. After that, at Princeton, he was an instructor, an assistant professor in 1968, associate professor in 1971 and professor in 1974. From 2002 to 2005 he was the chairman of faculty there. He was also a visiting scholar at the University of Minnesota, the University of Kyoto, Paris VI, Orsay Faculty of Sciences, the Institute for Advanced Study and the IHES. While in France, he adapted methods of scheme theory and category theory to the theory of modular forms. Subsequently, he has applied geometric methods to various exponential sums. From 1968 to 1969, he was a NATO Postdoctoral Fellow, from 1975 to 1976 and from 1987–1988 Guggenheim Fellow and from 1971 to 1972 Sloan Fellow. In 1970 he was an invited speaker at the International Congress of Mathematicians in Nice (The regularity theorem in algebraic geometry) and in 1978 in Helsinki (p adic L functions, Serre Tate local moduli and ratios of solutions of differential equations). Since 2003 he is a member of the American Academy of Arts and Sciences and since 2004 the National Academy of Sciences. In 2003 he was awarded with Peter Sarnak the Levi L. Conant Prize of the American Mathematical Society (AMS) for the essay "Zeroes of Zeta Functions and Symmetry" in the Bulletin of the American Mathematical Society. Since 2004 he is an editor of the Annals of Mathematics. In 2023 he received from the AMS the Leroy P. Steele Prize for Lifetime Achievement. He played a significant role as a sounding board for Andrew Wiles when Wiles was developing in secret his proof of Fermat's Last Theorem. Mathematician and cryptographer Neal Koblitz was one of Katz's students. Katz studied, with Sarnak among others, the connection of the eigenvalue distribution of large random matrices of classical groups to the distribution of the distances of the zeros of various L and zeta functions in algebraic geometry. He also studied trigonometric sums (Gauss sums) with algebro geometric methods. He introduced the Katz–Lang finiteness theorem.

Сочинения

Суммы Гаусса, суммы Клоостермана и группы монодромии. "Анналы математических исследований", Принстон, 1988. Экспоненциальные суммы и дифференциальные уравнения. "Анналы математических исследований", Принстон, 1990. Рукопись с исправлениями. Жесткие локальные системы. "Анналы математических исследований", Принстон, 1996. Скрученные функции и монодромия. "Анналы математических исследований", Принстон, 2002. Моменты, монодромия и перверсивность. Диофантовский взгляд. "Анналы математических исследований", Принстон, 2005. Свертки и равномерное распределение: теоремы Сато — Тате для преобразований Меллина на конечных полях. "Анналы математических исследований", Принстон, 2012. С Барри Мазуром: Арифметические модули эллиптических кривых. Принстон, 1985. С Питером Сарнаком: Случайные матрицы, собственные значения Фробениуса и монодромия. Издания AMS Colloquium, 1998. С Питером Сарнаком: "Нули дзета-функций и симметрия". Бюллетень AMS, Vol. 36, 1999, с. 26.