Введение
Отображение удвоения на единичном интервале
The dyadic transformation (also known as the dyadic map, bit shift map, 2x mod 1 map, Bernoulli map, doubling map or sawtooth map) is the mapping (i. e., recurrence relation)
(where is the set of sequences from ) produced by the rule
Equivalently, the dyadic transformation can also be defined as the iterated function map of the piecewise linear function
The name bit shift map arises because, if the value of an iterate is written in binary notation, the next iterate is obtained by shifting the binary point one bit to the right, and if the bit to the left of the new binary point is a "one", replacing it with a zero. The dyadic transformation provides an example of how a simple 1 dimensional map can give rise to chaos. This map readily generalizes to several others. An important one is the beta transformation, defined as This map has been extensively studied by many authors. It was introduced by Alfréd Rényi in 1957, and an invariant measure for it was given by Alexander Gelfond in 1959 and again independently by Bill Parry in 1960.
Диадическая трансформация (также известная как диадическое отображение, карта битового сдвига, отображение 2x mod 1, карта Бернулли, отображение удвоения или пилообразная карта) – это отображение (т.е. рекуррентное соотношение) (где – множество последовательностей из ) , получаемое по правилу:
The dyadic transformation (also known as the dyadic map, bit shift map, 2x mod 1 map, Bernoulli map, doubling map or sawtooth map) is the mapping (i. e., recurrence relation)
(where is the set of sequences from ) produced by the rule
Equivalently, the dyadic transformation can also be defined as the iterated function map of the piecewise linear function
The name bit shift map arises because, if the value of an iterate is written in binary notation, the next iterate is obtained by shifting the binary point one bit to the right, and if the bit to the left of the new binary point is a "one", replacing it with a zero. The dyadic transformation provides an example of how a simple 1 dimensional map can give rise to chaos. This map readily generalizes to several others. An important one is the beta transformation, defined as This map has been extensively studied by many authors. It was introduced by Alfréd Rényi in 1957, and an invariant measure for it was given by Alexander Gelfond in 1959 and again independently by Bill Parry in 1960.
Эквивалентно, диадическую трансформацию также можно определить как итеративное отображение кусочно-линейной функции:
The dyadic transformation (also known as the dyadic map, bit shift map, 2x mod 1 map, Bernoulli map, doubling map or sawtooth map) is the mapping (i. e., recurrence relation)
(where is the set of sequences from ) produced by the rule
Equivalently, the dyadic transformation can also be defined as the iterated function map of the piecewise linear function
The name bit shift map arises because, if the value of an iterate is written in binary notation, the next iterate is obtained by shifting the binary point one bit to the right, and if the bit to the left of the new binary point is a "one", replacing it with a zero. The dyadic transformation provides an example of how a simple 1 dimensional map can give rise to chaos. This map readily generalizes to several others. An important one is the beta transformation, defined as This map has been extensively studied by many authors. It was introduced by Alfréd Rényi in 1957, and an invariant measure for it was given by Alexander Gelfond in 1959 and again independently by Bill Parry in 1960.
Название "карта битового сдвига" происходит от того, что если значение итерации записано в двоичной системе счисления, следующая итерация получается сдвигом двоичной точки на один бит вправо, и если бит слева от новой двоичной точки равен "1", он заменяется на "0". Диадическая трансформация демонстрирует, как простое одномерное отображение может приводить к хаосу. Это отображение легко обобщается на другие. Важным обобщением является бета-трансформация, определяемая как: Эта карта была широко изучена многими авторами. Она была введена Альфредом Реньи в 1957 году, а инвариантная мера для неё была найдена Александром Гельфондом в 1959 году и независимо Биллом Пэрри в 1960 году.
The dyadic transformation (also known as the dyadic map, bit shift map, 2x mod 1 map, Bernoulli map, doubling map or sawtooth map) is the mapping (i. e., recurrence relation)
(where is the set of sequences from ) produced by the rule
Equivalently, the dyadic transformation can also be defined as the iterated function map of the piecewise linear function
The name bit shift map arises because, if the value of an iterate is written in binary notation, the next iterate is obtained by shifting the binary point one bit to the right, and if the bit to the left of the new binary point is a "one", replacing it with a zero. The dyadic transformation provides an example of how a simple 1 dimensional map can give rise to chaos. This map readily generalizes to several others. An important one is the beta transformation, defined as This map has been extensively studied by many authors. It was introduced by Alfréd Rényi in 1957, and an invariant measure for it was given by Alexander Gelfond in 1959 and again independently by Bill Parry in 1960.
Скорость потери информации и чувствительная зависимость от исходных условий
Одной из отличительных черт хаотической динамики является потеря информации в процессе моделирования. Если мы начинаем с информации о первых s битах начальной итерации, то после m симулированных итераций (m < s) у нас останется только s − m битов информации. Таким образом, мы теряем информацию с экспоненциальной скоростью – один бит за итерацию. После s итераций наша симуляция достигнет неподвижной точки, равной нулю, независимо от истинных значений итераций; следовательно, мы столкнемся с полной потерей информации. Это иллюстрирует чувствительную зависимость от начальных условий – отображение, построенное на основе усеченного начального условия, экспоненциально отклоняется от отображения, построенного на основе истинного начального условия. И поскольку наша симуляция достигла неподвижной точки, для почти всех начальных условий она не сможет качественно правильно описать хаотическую динамику. Концепция потери информации эквивалентна концепции получения информации. На практике некоторый реальный процесс может генерировать последовательность значений (xn) с течением времени, но мы можем наблюдать эти значения только в усеченном виде. Например, предположим, что x0 = 0.1001101, но мы наблюдаем только усеченное значение 0.1001. Наш прогноз для x1 – 0.001. Если мы дождемся, пока реальный процесс сгенерирует истинное значение x1, равное 0.001101, мы сможем наблюдать усеченное значение 0.0011, которое точнее, чем наш прогноз 0.001. Таким образом, мы получили прирост информации в один бит.