Введение

Теорема в теории вероятностей
В теории вероятностей уравнение Вальда, тождество Вальда или лемма Вальда — важное тождество, упрощающее вычисление математического ожидания суммы случайного числа случайных величин. В своей простейшей форме оно связывает математическое ожидание суммы случайного количества конечных, независимых и одинаково распределённых случайных величин с математическим ожиданием числа слагаемых в сумме и общим математическим ожиданием этих случайных величин при условии, что число слагаемых в сумме не зависит от самих слагаемых. Уравнение названо в честь математика Абрахама Вальда. Уравнение Блэкуэлла — Гиршика даёт тождество для второго момента.

Основная версия

Пусть (Xn)n∈N является последовательностью вещественнозначных, независимых и одинаково распределённых случайных величин, и пусть N ≥ 0 – целочисленная случайная величина, независимая от последовательности (Xn)n∈N. Предположим, что N и Xn имеют конечные математические ожидания. Тогда

Пример

Бросьте шестигранный кубик. Возьмите число, выпавшее на кубике (обозначим его N), и бросьте столько шестигранных кубиков, чтобы получить числа X1, …, XN, и сложите их значения. Согласно уравнению Вальда, полученное значение в среднем равно

Пример с зависимыми терминами

Пусть N — интегрируемая случайная величина, принимающая значение 0, которая независима от интегрируемой случайной величины Z с действительными значениями. Определим для всех n ∈ Тогда выполняются условия , , и с , следовательно, также выполняются и , и применяется уравнение Вальда. Если распределение Z несимметрично, то не выполняется. Следует отметить, что если Z не почти наверное равна нулевой случайной величине, то и не могут выполняться одновременно для любой фильтрации , поскольку Z не может быть независимой от самой себя, что невозможно.

Пример, где количество членов зависит от последовательности

Пусть (Xn)n∈N является последовательностью независимых, симметричных случайных величин, принимающих значения в множестве {–1, +1}. Для каждого n ∈ N пусть ℱn – сигма-алгебра, порожденная X1, …, Xn, и определим N как номер первого случайного элемента, принимающего значение +1. Заметим, что P(N < ∞) = 1, следовательно, E[N] < ∞ по признаку Даламбера. Предположения P(Xn = –1) = P(Xn = +1) = 1/2, E[Xn] = 0 и Var(Xn) < ∞, а значит, E[Xn|ℱk] = 0 и Var(Xn|ℱk) < ∞ для всех k < n, выполняются, следовательно, также E[SN] = 0 и Var(SN) < ∞, и применимо уравнение Вальда. Однако E[XN] ≠ 0, поскольку N определяется на основе последовательности (Xn)n∈N. Интуитивно можно ожидать, что в этом примере E[SN] > 0, так как суммирование прекращается сразу после появления единицы, что, по-видимому, создает положительное смещение. Однако уравнение Вальда показывает, что эта интуиция ошибочна.

Контрпример, иллюстрирующий необходимость предположения ()

Рассмотрим последовательность (Xn) n∈ i. i. d. (независимые и одинаково распределенные случайные величины) случайных величин, принимающих каждое из двух значений 0 и 1 с вероятностью (фактически, в дальнейшем требуется только X1). Определим Тогда SN тождественно равен нулю, следовательно, , но и , и поэтому уравнение Вальда не выполняется. Действительно, условия , , и выполнены, однако уравнение в предположении справедливо для всех n ∈ , за исключением .

Общее доказательство

Это доказательство использует только теоремы монотонной и доминирующей сходимости Лебега. Мы докажем утверждение, сформулированное выше, в три шага.

Дальнейшие обобщения

Уравнение Вальда можно распространить на случайные величины (Xn)n∈, принимающие значения в Rᵈ, применяя его одномерный вариант к каждой компоненте. Если (Xn)n∈ – случайные величины, интегрируемые по Бохнеру, принимающие значения в банаховом пространстве, то приведенное выше общее доказательство можно соответствующим образом адаптировать.