Введение

Примитивная ячейка кристаллических решеток с применением разложения Вороного
Ячейка Вигнера — Сейца, названная в честь Юджина Вигнера и Фредерика Сейца, является примитивной ячейкой, построенной путем применения разложения Вороного к кристаллической решетке. Она используется при изучении кристаллических материалов в кристаллографии. Уникальное свойство кристалла заключается в том, что его атомы расположены в регулярном трехмерном массиве, называемом решеткой. Все свойства, приписываемые кристаллическим материалам, обусловлены этой высокоупорядоченной структурой. Такая структура демонстрирует дискретную трансляционную симметрию. Для моделирования и изучения такой периодической системы необходим математический инструмент для описания симметрии и, следовательно, для получения выводов о свойствах материала, вытекающих из этой симметрии. Ячейка Вигнера — Сейца является одним из таких инструментов. Ячейка Вигнера — Сейца — это пример примитивной ячейки, представляющей собой элементарную ячейку, содержащую ровно одну точку решетки. Для любой решетки существует бесконечное количество возможных примитивных ячеек. Однако для любой заданной решетки существует только одна ячейка Вигнера — Сейца. Это геометрическое место точек в пространстве, которые ближе к данной точке решетки, чем к любой другой точке решетки. Ячейка Вигнера — Сейца, как и любая примитивная ячейка, является фундаментальной областью для дискретной трансляционной симметрии решетки. Примитивная ячейка взаимной решетки в пространстве импульсов называется зоной Бриллюэна.

Предыстория

Концепция разложения Вороного была исследована Питером Густавом Лежун Дирихле, что привело к названию области Дирихле. Дальнейший вклад внесли Евграф Фёдоров (параллелеэдр Фёдорова), Георгий Вороной (полиэдр Вороного) и Поль Ниггли (Wirkungsbereich). Применение к физике конденсированного состояния было впервые предложено Юджином Вигнером и Фредериком Зайцем в статье 1933 года, где оно использовалось для решения уравнения Шрёдингера для свободных электронов в элементарном натрии. Они аппроксимировали форму ячейки Вигнера — Сейца в натрии, представляющей собой усечённый октаэдр, как сферу равного объёма и точно решили уравнение Шрёдингера, используя периодические граничные условия, которые необходимы на поверхности сферы. Позднее Джон С. Слейтер выполнил аналогичный расчёт, учитывающий не сферическую форму ячейки Вигнера — Сейца. Существует всего пять топологически различных многогранников, заполняющих трёхмерное пространство, ℝ^(3). Они называются параллелоэдрами и представляют интерес для математических исследований, в том числе в более высоких размерностях. Эти пять параллелоэдров можно использовать для классификации трёхмерных решёток, применяя концепцию проективной плоскости, как предложили Джон Хортон Конвей и Нил Слоан. Однако, в то время как топологическая классификация рассматривает любое аффинное преобразование как приводящее к одному и тому же классу, более строгая классификация выделяет 24 различных класса вороных полиэдров с параллельными рёбрами, заполняющих пространство.

Определение

Клетка Вигнера-Сейца вокруг точки решетки определяется как геометрическое место точек в пространстве, которые ближе к данной точке решетки, чем к любой другой точке решетки. Математически можно доказать, что клетка Вигнера-Сейца является примитивной ячейкой. Это подразумевает, что ячейка полностью заполняет всё прямое пространство, не оставляя промежутков или пустот, что известно как мощение.

Строительство ячейки

Общая математическая концепция, воплощенная в ячейке Вигнера — Зейца, чаще называется ячейкой Вороного, а разделение плоскости на эти ячейки для заданного набора точечных сайтов известно как диаграмма Вороного. Ячейку можно выбрать, сначала выбрав точку решетки. После выбора точки проводятся линии ко всем ближайшим точкам решетки. В середине каждой линии проводится другая линия, перпендикулярная первой. Наименьшая площадь, ограниченная таким образом, называется примитивной ячейкой Вигнера — Зейца. Для трехмерной решетки шаги аналогичны, но на шаге 2 вместо проведения перпендикулярных линий проводятся перпендикулярные плоскости в середине линий между точками решетки. Как и в случае всех примитивных ячеек, вся площадь или объем внутри решетки может быть заполнена ячейками Вигнера — Зейца без зазоров. Ближайшие точки решетки постоянно исследуются до тех пор, пока заключенная площадь или объем не станет правильной для примитивной ячейки. В качестве альтернативы, если базисные векторы решетки редуцированы с помощью редукции решетки, необходимо использовать лишь конечное число точек решетки. В двух измерениях необходимо использовать только точки решетки, составляющие 4 элементарные ячейки, имеющие общую вершину с началом координат. В трех измерениях необходимо использовать только точки решетки, составляющие 8 элементарных ячеек, имеющие общую вершину с началом координат. Ячейка Вигнера — Зейца гранецентрированной кубической решетки представляет собой усеченный октаэдр. Для указания дополнительных ограничений, — параметры элементарной ячейки, а — базисные векторы. Топологический класс (аффинный эквивалент параллелеэдра) Усеченный октаэдр Удлиненный додекаэдр Ромбический додекаэдр Гексагональная призма Куб Решетка Браве Примитивная кубическая Любая Гранецентрированная кубическая Любая Объёмноцентрированная кубическая Любая Примитивная гексагональная Любая Примитивная ромбоэдрическая Примитивная тетрагональная Любая Объёмноцентрированная тетрагональная Примитивная орторомбическая Любая Базоцентрированная орторомбическая Любая Гранецентрированная орторомбическая Любая Объёмноцентрированная орторомбическая Примитивная моноклинная Базоцентрированная моноклинная , , , , Примитивная триклинная где-то одно время где-то

Композитные решетки

Для композитных решеток (кристаллов, которые имеют более одного вектора в своей базе) каждая точка решетки представляет несколько атомов. Мы можем разделить каждую ячейку Вигнера — Зейца на подячейки, проводя дальнейшее разложение Вороного в соответствии с ближайшим атомом, а не с ближайшей точкой решетки. Например, кристаллическая структура алмаза содержит двух-атомную базу. В алмазе атомы углерода имеют тетраэдрическую sp3-связь, но поскольку тетраэдры не заполняют пространство полностью, разложение Вороного алмазной кристаллической структуры фактически представляет собой триакисный усеченный тетраэдрический сотовый узор. Другой пример — применение разложения Вороного к атомам в фазах A15, которое формирует полиэдрическое приближение структуры Уэйра — Фелана.

Симметрия

Клетка Вигнера-Сейца всегда обладает той же точечной симметрией, что и лежащая в ее основе решетка Браве. Например, куб, усеченный октаэдр и ромбический додекаэдр имеют точечную симметрию Oh, поскольку соответствующие решетки Браве, использованные для их построения, относятся к кубической сингонии, которая характеризуется точечной симметрией Oh.

Зона Брилуана

На практике сама ячейка Вигнера — Зейца редко используется для описания прямого пространства, где обычно применяются элементарные ячейки. Однако, такое же разложение имеет решающее значение применительно к обратному пространству. Ячейка Вигнера — Зейца в обратном пространстве называется зоной Бриллюэна и содержит информацию о том, является ли материал проводником, полупроводником или изолятором.