Теорема Клеро о гравитации и форма Земли

Введение

Теорема о гравитации

Теорема Клэрэу описывает поверхностную гравитацию на вязком вращающемся эллипсоиде, находящемся в гидростатическом равновесии под действием его собственного гравитационного поля и центробежной силы. Она была опубликована в 1743 году Алексисом Клодом Клеро в трактате, объединившем физические и геодезические данные, подтверждающие, что Земля представляет собой сплюснутый вращающийся эллипсоид. Изначально она использовалась для установления связи между гравитацией в любой точке на поверхности Земли и её координатами, что позволяло вычислить сплюснутость Земли на основе измерений гравитации на различных широтах. В настоящее время она в значительной степени вытеснена уравнением Сомиглианы.

История

Хотя с древности было известно, что Земля сферическая, к XVII веку накапливались доказательства того, что она не является идеальной сферой. В 1672 году Жан Рише обнаружил первое свидетельство того, что сила тяжести не является постоянной по всей Земле (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну, Французская Гвиана, и обнаружил, что они отстают на 2 с половиной минуты в день по сравнению с их ходом в Париже. Это указывало на то, что ускорение свободного падения в Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали брать с собой в путешествия в отдаленные уголки мира, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно возрастает с увеличением широты, при этом ускорение свободного падения на полюсах примерно на 0,5% больше, чем на экваторе. Британский физик Исаак Ньютон объяснил это в своей книге «Математические начала натуральной философии» (Principia Mathematica, 1687), где он изложил свою теорию и расчеты относительно формы Земли. Ньютон верно предположил, что Земля не является точной сферой, а имеет форму сплюснутого эллипсоида, слегка приплюснутого на полюсах из-за центробежной силы, возникающей при ее вращении. Используя геометрические вычисления, он привел конкретный аргумент в пользу гипотетической эллипсоидальной формы Земли. Целью «Математических начал» было не предоставление точных ответов на вопросы о природных явлениях, а выдвижение возможных решений этих нерешенных проблем в науке. Ньютон подталкивал ученых к дальнейшему изучению необъяснимых переменных. Двумя выдающимися исследователями, вдохновленными им, были Алексис Клерэ и Пьер Луи Мопертюи. Они оба стремились доказать состоятельность теории Ньютона о форме Земли. Для этого они отправились в экспедицию в Лапландию, чтобы точно измерить дугу меридиана. На основе этих измерений они могли рассчитать эксцентриситет Земли, то есть степень ее отклонения от идеальной сферы. Клерэ подтвердил, что теория Ньютона о том, что Земля имеет эллипсоидальную форму, верна, но его расчеты были неверны, и он написал письмо в Лондонское королевское общество со своими выводами. Общество опубликовало статью в «Философских трудах» (Philosophical Transactions) в следующем году, 1737 году. В ней Клерэ указал (в разделе XVIII), что XX предложение Ньютона из 3-й книги неприменимо к реальной Земле. В нем утверждалось, что вес объекта в какой-либо точке Земли зависит только от соотношения его расстояния от центра Земли к расстоянию от центра до поверхности в этой или вышележащей точке, так что общий вес столба воды в центре Земли был бы одинаковым, независимо от направления, в котором столб поднимается к поверхности. Ньютон фактически указал, что это справедливо при условии, что вещество внутри Земли имеет однородную плотность (в предложении XIX). Ньютон осознал, что плотность, вероятно, неоднородна, и предложил это в качестве объяснения того, почему измерения силы тяжести показали большую разницу между полярными и экваториальными регионами, чем предсказывала его теория. Однако он также полагал, что это означает, что экватор находится дальше от центра, чем предсказывала его теория, и Клерэ указывает, что верно обратное. Клерэ отмечает в начале своей статьи, что Ньютон не объяснил, почему он считал, что Земля имеет форму эллипсоида, а не какую-либо другую овальную форму, но Клерэ и Джеймс Стирлинг почти одновременно показали, почему Земля должна быть эллипсоидом в 1736 году. Статья Клерэ не содержала корректного уравнения, подтверждающего его аргумент. Это вызвало большие споры в научном сообществе. Только когда Клерэ написал «Теорию фигуры Земли» в 1743 году, был дан исчерпывающий ответ. В ней он сформулировал то, что сегодня более формально известно как теорема Клерэ.

Although it had been known since antiquity that the Earth was spherical, by the 17th century evidence was accumulating that it was not a perfect sphere. In 1672 Jean Richer found the first evidence that gravity was not constant over the Earth (as it would be if the Earth were a sphere); he took a pendulum clock to Cayenne, French Guiana and found that it lost 2 1/2 minutes per day compared to its rate at Paris. This indicated the acceleration of gravity was less at Cayenne than at Paris. Pendulum gravimeters began to be taken on voyages to remote parts of the world, and it was slowly discovered that gravity increases smoothly with increasing latitude, gravitational acceleration being about 0.5% greater at the poles than at the equator. British physicist Isaac Newton explained this in his Principia Mathematica (1687) in which he outlined his theory and calculations on the shape of the Earth. Newton theorized correctly that the Earth was not precisely a sphere but had an oblate ellipsoidal shape, slightly flattened at the poles due to the centrifugal force of its rotation. Using geometric calculations, he gave a concrete argument as to the hypothetical ellipsoid shape of the Earth. The goal of Principia was not to provide exact answers for natural phenomena, but to theorize potential solutions to these unresolved factors in science. Newton pushed for scientists to look further into the unexplained variables. Two prominent researchers that he inspired were Alexis Clairaut and Pierre Louis Maupertuis. They both sought to prove the validity of Newton's theory on the shape of the Earth. In order to do so, they went on an expedition to Lapland in an attempt to accurately measure a meridian arc. From such measurements they could calculate the eccentricity of the Earth, its degree of departure from a perfect sphere. Clairaut confirmed that Newton's theory that the Earth was ellipsoidal was correct, but that his calculations were in error, and he wrote a letter to the Royal Society of London with his findings. The society published an article in Philosophical Transactions the following year, 1737. In it Clairaut pointed out (Section XVIII) that Newton's Proposition XX of Book 3 does not apply to the real earth. It stated that the weight of an object at some point in the earth depended only on the proportion of its distance from the centre of the earth to the distance from the centre to the surface at or above the object, so that the total weight of a column of water at the centre of the earth would be the same no matter in which direction the column went up to the surface. Newton had in fact said that this was on the assumption that the matter inside the earth was of a uniform density (in Proposition XIX). Newton realized that the density was probably not uniform, and proposed this as an explanation for why gravity measurements found a greater difference between polar regions and equatorial regions than what his theory predicted. However, he also thought this would mean the equator was further from the centre than what his theory predicted, and Clairaut points out that the opposite is true. Clairaut points out at the beginning of his article that Newton did not explain why he thought the earth was ellipsoid rather than like some other oval, but that Clairaut, and James Stirling almost simultaneously, had shown why the earth should be an ellipsoid in 1736. Clairaut's article did not provide a valid equation to back up his argument as well. This created much controversy in the scientific community. It was not until Clairaut wrote Théorie de la figure de la terre in 1743 that a proper answer was provided. In it, he promulgated what is more formally known today as Clairaut's theorem.

Геодезия

Сфероидальная форма Земли является результатом взаимодействия между гравитацией и центробежной силой, возникающей из-за вращения Земли вокруг своей оси. В своей работе «Математические начала натуральной философии» (Principia) Ньютон предположил, что равновесная форма однородной вращающейся Земли – это вращающийся эллипсоид с уплощением f, равным 1/230. Вследствие этого гравитация увеличивается от экватора к полюсам. Используя теорему Клэрэ, Лаплас, на основе 15 измерений силы тяжести, определил, что f = 1/330. Современная оценка составляет 1/298,25642. Более подробную информацию можно найти в статье «Фигура Земли». Подробное описание построения опорной модели Земли в геодезии приведено в работе Чатфилда.