Введение
Теория линейной алгебры
В теории матриц теорема Перрона — Фробениуса, доказанная и , утверждает, что реальная квадратная матрица с положительными элементами имеет единственное собственное значение наибольшей по модулю, и это собственное значение является вещественным. Соответствующий собственный вектор можно выбрать так, чтобы его компоненты были строго положительными, и также существует аналогичное утверждение для определенных классов неотрицательных матриц. Эта теорема имеет важные применения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем (подсдвиги конечного типа); в экономике (теорема Окисио, условие Хокинса — Саймона); в демографии (модель распределения населения по возрастам Лесли); в социальных сетях (процесс обучения ДеГрута); в интернет-поисковых системах (PageRank); и даже в рейтинге команд американского футбола. Первым, кто рассмотрел упорядочение игроков в турнирах с использованием собственных векторов Перрона — Фробениуса, был Эдмунд Ландау.
In matrix theory, the Perron–Frobenius theorem, proved by and , asserts that a real square matrix with positive entries has a unique eigenvalue of largest magnitude and that eigenvalue is real. The corresponding eigenvector can be chosen to have strictly positive components, and also asserts a similar statement for certain classes of nonnegative matrices. This theorem has important applications to probability theory (ergodicity of Markov chains); to the theory of dynamical systems (subshifts of finite type); to economics (Okishio's theorem, Hawkins–Simon condition);
to demography (Leslie population age distribution model);
to social networks (DeGroot learning process); to Internet search engines (PageRank); and even to ranking of American football
teams. The first to discuss the ordering of players within tournaments using Perron–Frobenius eigenvectors is Edmund Landau.
Заявление
Пусть положительные и неотрицательные соответственно описывают матрицы, элементы которых – исключительно положительные действительные числа, и матрицы, элементы которых – исключительно неотрицательные действительные числа. Собственные значения реальной квадратной матрицы A – это комплексные числа, составляющие спектр матрицы. Экспоненциальная скорость роста степеней матрицы Ak при k → ∞ определяется собственным значением A с наибольшим абсолютным значением (модулем). Теорема Перрона — Фробениуса описывает свойства главного собственного значения и соответствующих собственных векторов, когда A является неотрицательной реальной квадратной матрицей. Первые результаты были получены для положительных матриц. Позже было найдено их обобщение на определенные классы неотрицательных матриц.