Введение
Аттрактор для хаотической системы Рёсслера
Аттрактор Рёсслера '/r//ɒ//s//l//ər/' – это аттрактор для системы Рёсслера, системы из трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, первоначально изученных Отто Рёсслером в 1970-х годах. Эти дифференциальные уравнения определяют динамическую систему непрерывного времени, демонстрирующую хаотическую динамику, связанную с фрактальными свойствами аттрактора. Рёсслер интерпретировал это как формализацию процесса вытягивания карамели. Некоторые свойства системы Рёсслера могут быть выведены с помощью линейных методов, таких как собственные векторы, но для понимания основных особенностей системы требуются нелинейные методы, такие как карты Пуанкаре и диаграммы бифуркации. В оригинальной работе Рёсслера указано, что аттрактор Рёсслера должен был вести себя аналогично аттрактору Лоренца, но при этом быть более простым для качественного анализа. Исследование того, как Рёсслер открыл этот набор уравнений, было проведено Летэлье и Мессаже.
Карта Понкаре
Карта Пуанкаре строится путем нанесения значения функции каждый раз, когда она пересекает заданную плоскость в определенном направлении. Например, можно наносить значение каждый раз, когда функция пересекает плоскость, где координата x меняется от отрицательного к положительному, что часто делается при изучении аттрактора Лоренца. В случае аттрактора Рёсслера плоскость x не представляет интереса, поскольку карта всегда пересекает её в точке x=0 из-за особенностей уравнений Рёсслера. В плоскости (x, y, z) при фиксированных значениях y и z, карта Пуанкаре показывает увеличение значений z с ростом x, что ожидаемо благодаря восходящему и спиральному участку на графике Рёсслера. Количество точек на этом конкретном графике Пуанкаре бесконечно, но при использовании другого значения параметра, количество точек может меняться. Например, при значении параметра 4 на карте Пуанкаре будет только одна точка, поскольку функция демонстрирует периодическую орбиту периода 1, а при значении параметра 12.8 будет шесть точек, соответствующих орбите периода 6.
Карта Лоренца
Карта Лоренца — это соотношение между последовательными максимумами координаты в траектории. Рассмотрим траекторию на аттракторе и пусть xₙ будет n-м максимумом её x-координаты. Тогда график рассеяния (scatterplot) почти является кривой, что означает, что зная xₙ, можно почти точно предсказать xₙ₊₁.
Картографирование местных максимумов
В оригинальной работе об аттракторе Лоренца Эдвард Лоренц проанализировал локальные максимумы, сравнивая их с непосредственно предшествующими локальными максимумами. Визуализация графика показала сходство с функцией "палатка", что позволяет предположить возможность применения аналогичного анализа как к карте, так и к аттрактору. Для аттрактора Рёсслера, при построении графика локального максимума по отношению к следующему локальному максимуму , полученный график (представлен здесь для , , ) является унимодальным и напоминает скошенную карту Хенона. Поскольку аттрактор Рёсслера можно использовать для создания псевдо-одномерной карты, логично применять к нему аналогичные методы анализа. Особенно полезным методом анализа является диаграмма бифуркации.
Изменение параметров
Поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени определяется значениями его постоянных параметров , , и . В целом, изменение каждого параметра оказывает сопоставимое влияние, заставляя систему сходиться к периодической орбите, фиксированной точке или уходить в бесконечность, однако конкретные диапазоны и поведение, которые при этом возникают, существенно различаются для каждого параметра. Периодические орбиты, или "единичные циклы", системы Рёсслера определяются количеством оборотов вокруг центральной точки, прежде чем последовательность оборотов начнет повторяться. Бифуркационные диаграммы – распространенный инструмент для анализа поведения динамических систем, одной из которых является аттрактор Рёсслера. Они строятся путем решения уравнений системы, при этом все переменные, кроме одной, остаются постоянными, а последняя изменяется. Затем на графике отображаются точки, которые принимает определенное значение изменяемой переменной после устранения переходных процессов. Хаотические области обозначаются закрашенными областями на графике.
Различающийся b
Здесь, фиксируется на 0,2, фиксируется на 5,7, а меняется. Как показано на прилагаемой диаграмме, при приближении к 0 аттрактор стремится к бесконечности (обратите внимание на возрастание при очень малых значениях). По сравнению с другими параметрами, изменение генерирует более широкий диапазон значений, при которых возникают орбиты периода 3 и периода 6. В отличие от и , более высокие значения стремятся к периоду 1, а не к хаотическому состоянию.
Различается
Вот, и изменения. Диаграмма бифуркации показывает, что при низких значениях переменная является периодической, но быстро становится хаотичной с ростом . Эта закономерность повторяется при дальнейшем увеличении – наблюдаются участки периодичности, чередующиеся с периодами хаоса, и тенденция к орбитам более высокого периода. Например, орбита периода 1 появляется только при значениях около 4 и больше не встречается на диаграмме бифуркации. То же самое явление наблюдается и для периода 3: до , орбиты периода 3 могут быть найдены, но после этого они исчезают. Графическая иллюстрация изменения аттрактора в диапазоне значений демонстрирует общее поведение, наблюдаемое при всех этих параметрических исследованиях – частые переходы между периодичностью и апориодичностью. Приведенный выше набор изображений иллюстрирует изменения в посттранзиентной системе Рёсслера при изменении в заданном диапазоне значений. Эти изображения были получены при: орбита периода 1. , орбита периода 2. , орбита периода 4. , орбита периода 8. , разреженный хаотический аттрактор. , орбита периода 3. , орбита периода 6. , разреженный хаотический аттрактор. , орбита периода 5. , заполненный хаотический аттрактор.
Периодические орбиты
Аттрактор плотно заполнен периодическими орбитами: решениями, для которых существует ненулевое значение τ такое, что φ(τ) = φ(0). Эти интересные решения могут быть численно получены с использованием метода Ньютона. Периодические орбиты являются корнями функции F(φ) = φ - I, где φ – эволюция во времени, а I – тождественное преобразование. Поскольку основная часть динамики происходит в плоскости x-y, периодические орбиты можно классифицировать по их индексу обхода вокруг центральной точки равновесия после проецирования. Из численных экспериментов следует, что для каждого положительного индекса обхода существует единственная периодическая орбита. Вероятно, отсутствие вырождения связано с отсутствием симметрии в задаче. Аттрактор можно разложить на более простые инвариантные многообразия: одномерные периодические орбиты и двумерные устойчивые и неустойчивые многообразия периодических орбит. Эти инвариантные многообразия представляют собой естественный скелет аттрактора, подобно тому, как рациональные числа соотносятся с действительными числами. В контексте теории динамических систем может представлять интерес изучение топологических инвариантов этих многообразий. Периодические орбиты являются копиями S¹, вложенными в R³, поэтому их топологические свойства можно исследовать с помощью теории узлов. Периодические орбиты с индексами обхода 1 и 2 образуют связь Хопфа, что показывает, что ни один диффеоморфизм не может разделить эти орбиты.
Ссылки на другие темы
Полосатая структура, наблюдаемая в аттракторе Рёсслера, аналогична множеству Кантора, повёрнутому вокруг его середины. Кроме того, полувиток, возникающий в аттракторе Рёсслера, затрагивает лишь часть аттрактора. Рёсслер показал, что его аттрактор фактически представляет собой комбинацию "обычной полосы" и ленты Мёбиуса.