Несмещенная оценка с минимальной дисперсией (MVUE)
Minimum-variance unbiased estimator
Несмещенная оценка с минимальной дисперсией (MVUE) в статистике: определение, свойства, применение и примеры для нормального распределения. Оптимальная оценка!
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Непредвзятый статистический оценщик, минимизирующий дисперсию. В статистике минимальный непредвзятый оценщик дисперсии (MVUE) или равномерно минимальный непредвзятый оценщик дисперсии (UMVUE) — это непредвзятый оценщик, имеющий меньшую дисперсию, чем любой другой непредвзятый оценщик для всех возможных значений параметра. Для решения практических статистических задач важно определить MVUE, если он существует, поскольку менее оптимальные процедуры, при прочих равных, следует избегать. Это привело к значительному развитию статистической теории, связанной с проблемой оптимальной оценки. Хотя сочетание требования непредвзятости с критерием наименьшей дисперсии дает хорошие результаты в большинстве практических ситуаций, делая MVUE естественной отправной точкой для широкого спектра анализов, для конкретной задачи более эффективной может оказаться целенаправленная спецификация; таким образом, MVUE не всегда является наилучшим решением.
Unbiased statistical estimator minimizing varianceIn statistics a minimum variance unbiased estimator (MVUE) or uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) is an unbiased estimator that has lower variance than any other unbiased estimator for all possible values of the parameter. For practical statistics problems, it is important to determine the MVUE if one exists, since less than optimal procedures would naturally be avoided, other things being equal. This has led to substantial development of statistical theory related to the problem of optimal estimation. While combining the constraint of unbiasedness with the desirability metric of least variance leads to good results in most practical settings—making MVUE a natural starting point for a broad range of analyses—a targeted specification may perform better for a given problem; thus, MVUE is not always the best stopping point.
Другие примеры
Для нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией, выборочное среднее и (несмещенная) выборочная дисперсия являются MVUE для среднего генеральной совокупности и дисперсии генеральной совокупности. Однако выборочное стандартное отклонение не является несмещенной оценкой стандартного отклонения генеральной совокупности – см. несмещенную оценку стандартного отклонения. Более того, для других распределений выборочное среднее и выборочная дисперсия, как правило, не являются MVUE – для равномерного распределения с неизвестными верхней и нижней границами середина диапазона является MVUE для среднего генеральной совокупности. Если k элементов выбрано (без возвращения) из дискретного равномерного распределения на множестве {1, 2, …, N} с неизвестной верхней границей N, то MVUE для N равно
For a normal distribution with unknown mean and variance, the sample mean and (unbiased) sample variance are the MVUEs for the population mean and population variance. However, the sample standard deviation is not unbiased for the population standard deviation – see unbiased estimation of standard deviation. Further, for other distributions the sample mean and sample variance are not in general MVUEs – for a uniform distribution with unknown upper and lower bounds, the mid range is the MVUE for the population mean. If k exemplars are chosen (without replacement) from a discrete uniform distribution over the set {1, 2, , N} with unknown upper bound N, the MVUE for N is
где m – максимальное значение в выборке. Это масштабированное и сдвинутое (и, следовательно, несмещенное) преобразование максимального значения выборки, которое является достаточной и полной статистикой. Подробности см. в разделе «Немецкая танковая проблема».
where m is the sample maximum. This is a scaled and shifted (so unbiased) transform of the sample maximum, which is a sufficient and complete statistic. See German tank problem for details.