Введение
Подпространство n-мерного пространства, размерность которого (n-1).
В геометрии гиперплоскость — это обобщение двухмерной плоскости в трехмерном пространстве на математические пространства произвольной размерности. Как и плоскость в пространстве, гиперплоскость — это плоская гиперповерхность, подпространство, размерность которого на единицу меньше размерности окружающего пространства. Два примера гиперплоскостей меньшей размерности — это одномерные прямые на плоскости и нулевые измерения точек на прямой. Чаще всего окружающее пространство представляет собой n-мерное евклидово пространство, в этом случае гиперплоскости являются (n − 1)-мерными плоскостями, каждая из которых разделяет пространство на два полупространства. Отражение относительно гиперплоскости — это своего рода движение (геометрическое преобразование, сохраняющее расстояние между точками), и группа всех движений порождается отражениями. Выпуклый политоп — это пересечение полупространств. В неевклидовой геометрии окружающее пространство может быть n-мерной сферой или гиперболическим пространством, или, в более общем случае, псевдоримановой формой пространства, а гиперплоскости — это гиперповерхности, состоящие из всех геодезических, проходящих через точку и перпендикулярных заданной нормальной геодезической. В других типах окружающих пространств некоторые свойства евклидова пространства становятся неактуальными. Например, в аффинном пространстве нет понятия расстояния, поэтому нет отражений или движений. В неориентируемом пространстве, таком как эллиптическое пространство или проективное пространство, нет понятия полуплоскостей. В наибольшей общности понятие гиперплоскости имеет смысл в любом математическом пространстве, в котором определено понятие размерности подпространства. Разность между размерностью подпространства и его окружающего пространства называется коразмерностью. Гиперплоскость имеет коразмерность 1.
Техническое описание
В геометрии гиперплоскостью n-мерного пространства V называется подпространство размерности n − 1, или, что эквивалентно, коразмерности 1 в V. Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем случае, аффинным пространством, векторным пространством или проективным пространством, и понятие гиперплоскости соответственно меняется, поскольку определение подпространства различается в этих случаях; однако, во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение одного (в силу ограничения "коразмерность 1") алгебраического уравнения первой степени. Если V является векторным пространством, различают "векторные гиперплоскости" (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и "аффинные гиперплоскости" (которые не обязаны проходить через начало координат; их можно получить сдвигом векторной гиперплоскости). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение, которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.
Специальные типы гиперпланов
Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей, обладающих свойствами, хорошо подходящими для определенных задач. Некоторые из этих специализаций описаны ниже.
Векторальные гиперплоски
В векторном пространстве векторная гиперплоскость — это подпространство коразмерности 1, возможно, сдвинутое от начала координат на вектор, в этом случае она называется аффинным подпространством. Такая гиперплоскость является решением одного линейного уравнения.
Проективные гиперплоски
Проективные гиперплоскости используются в проективной геометрии. Проективное подпространство — это множество точек, обладающее свойством, что для любых двух точек этого множества все точки на прямой, определяемой этими двумя точками, содержатся в этом множестве. Проективную геометрию можно рассматривать как аффинную геометрию с добавленными точками на бесконечности (точками исчезновения). Аффинная гиперплоскость вместе с соответствующими точками на бесконечности образует проективную гиперплоскость. Особым случаем проективной гиперплоскости является бесконечная или идеальная гиперплоскость, определяемая множеством всех точек на бесконечности. В проективном пространстве гиперплоскость не разделяет пространство на две части; для разделения точек и разделения пространства требуется две гиперплоскости. Это происходит потому, что пространство по сути "замкнуто", и обе стороны одиночной гиперплоскости соединены друг с другом.
Приложения
В выпуклой геометрии два непересекающихся выпуклых множества в n-мерном евклидовом пространстве разделяются гиперплоскостью, что известно как теорема о разделении гиперплоскостью. В машинном обучении гиперплоскости являются ключевым инструментом для создания машин опорных векторов для таких задач, как компьютерное зрение и обработка естественного языка. Точка данных и её предсказанное значение, полученное с помощью линейной модели, образуют гиперплоскость.
Диэдрические углы
Диэдрический угол между двумя непараллельными гиперплоскостями евклидова пространства — это угол между соответствующими нормальными векторами. Произведение преобразований в этих гиперплоскостях является вращением, ось которого — подпространство коразмерности 2, полученное при пересечении гиперплоскостей, а угол вращения равен удвоенному углу между гиперплоскостями.
Поддерживающие гиперпланы
Гиперплоскость H называется поддерживающей гиперплоскостью многогранника P, если многогранник P содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных гиперплоскостью H, и пересечение P и H определяется как грань многогранника. Теория многогранников и размерность граней анализируются путем изучения этих пересечений с гиперплоскостями.