Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Координационная игра для двух игроков в теории игр
Two player coordination game in game theory
В теории игр «битва полов» – это координационная игра для двух игроков, которая также включает элементы конфликта. Игра была представлена в 1957 году Р. Дунканом Люсом и Говардом Райффой в их классической книге «Игры и решения». Некоторые авторы предпочитают избегать приписывания полов игрокам и вместо этого используют Игрока 1 и Игрока 2, а некоторые называют игру «Бах или Стравинский», используя два концерта как два события. Описание игры здесь следует оригинальной истории Люса и Райффы. Представьте, что мужчина и женщина надеются встретиться этим вечером, но у них есть выбор между двумя мероприятиями: боксёрский поединок и балет. Мужчина предпочёл бы пойти на боксёрский поединок. Женщина предпочла бы балет. Оба предпочли бы пойти на одно и то же мероприятие, а не на разные. Если они не могут общаться, куда им следует пойти? Матрица выплат, обозначенная как «Битва полов (1)», показывает выигрыши, когда мужчина выбирает строку, а женщина – столбец. В каждой ячейке первое число представляет выигрыш мужчины, а второе – выигрыш женщины. Это стандартное представление не учитывает дополнительный ущерб, который может возникнуть не только из-за посещения разных мест, но и из-за посещения неправильного места (например, мужчина идёт на балет, а женщина – на боксёрский поединок, что не удовлетворяет никого). Чтобы учесть это, игра будет представлена в «Битва полов (2)», где в правом верхнем поле у игроков выигрыш 1, поскольку они хотя бы могут посетить мероприятие, которое предпочитают.
In game theory, the battle of the sexes is a two player coordination game that also involves elements of conflict. The game was introduced in 1957 by R. Duncan Luce and Howard Raiffa in their classic book, Games and Decisions. Some authors prefer to avoid assigning sexes to the players and instead use Players 1 and 2, and some refer to the game as Bach or Stravinsky, using two concerts as the two events. The game description here follows Luce and Raiffa's original story. Imagine that a man and a woman hope to meet this evening, but have a choice between two events to attend: a prize fight and a ballet. The man would prefer to go to prize fight. The woman would prefer the ballet. Both would prefer to go to the same event rather than different ones. If they cannot communicate, where should they go? The payoff matrix labeled "Battle of the Sexes (1)" shows the payoffs when the man chooses a row and the woman chooses a column. In each cell, the first number represents the man's payoff and the second number the woman's. This standard representation does not account for the additional harm that might come from not only going to different locations, but going to the wrong one as well (e. g. the man goes to the ballet while the woman goes to the prize fight, satisfying neither). To account for this, the game would be represented in "Battle of the Sexes (2)", where in the top right box, the players each have a payoff of 1 because they at least get to attend their favored events.
Анализ равновесия
В этой игре есть два равновесия Нэша в чистых стратегиях: одно, где оба игрока идут на призный бой, а другое — где оба идут на балет. Существует также равновесие Нэша в смешанных стратегиях, в котором игроки случайным образом выбирают стратегии с определенными вероятностями. Для выигрышей, указанных в игре «Битва полов» (1), в смешанном равновесии мужчина идет на призный бой с вероятностью 3/5, а женщина — на балет с вероятностью 3/5. Таким образом, они оказываются вместе на призном бое с вероятностью 6/25 = (3/5) * (2/5) и вместе на балете с вероятностью 6/25 = (2/5) * (3/5). Это представляет собой интересный случай для теории игр, поскольку каждое из равновесий Нэша в определенной степени несовершенно. Два равновесия Нэша в чистых стратегиях несправедливы: один игрок последовательно выигрывает больше, чем другой. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях неэффективно: игроки будут некоординированы с вероятностью 13/25, что приведет к ожидаемому выигрышу 6/5 для каждого игрока (меньше, чем выигрыш в размере 2 из менее предпочтительного равновесия в чистых стратегиях). Остается неясным, как формируются ожидания, которые приводят к реализации конкретного равновесия. Одним из возможных решений этой проблемы является использование коррелированного равновесия. В своей простейшей форме, если игроки имеют доступ к общему устройству для случайного выбора, они могут решить скоррелировать свои стратегии в игре на основе результата этого устройства. Например, если игроки могут подбросить монету перед выбором стратегии, они могут договориться скоррелировать свои стратегии на основе результата броска монеты, например, выбирая балет при выпадении орла и призный бой при выпадении решки. Обратите внимание, что после того, как результат броска монеты станет известен, ни у одного из игроков не будет стимула изменять свои предложенные действия, если он считает, что другой игрок не будет этого делать. В результате всегда достигается идеальная координация, а до броска монеты ожидаемые выигрыши для игроков равны. Однако остается верным, что даже при наличии устройства для корреляции равновесия Нэша, в которых игроки игнорируют его, сохранятся; коррелированное равновесие требует как существования устройства для корреляции, так и ожидания, что оба игрока будут использовать его для принятия решения.
This game has two pure strategy Nash equilibria, one where both players go to the prize fight, and another where both go to the ballet. There is also a mixed strategy Nash equilibrium, in which the players randomize using specific probabilities. For the payoffs listed in Battle of the Sexes (1), in the mixed strategy equilibrium the man goes to the prize fight with probability 3/5 and the woman to the ballet with probability 3/5, so they end up together at the prize fight with probability 6/25 = (3/5)(2/5) and together at the ballet with probability 6/25 = (2/5)(3/5). This presents an interesting case for game theory since each of the Nash equilibria is deficient in some way. The two pure strategy Nash equilibria are unfair; one player consistently does better than the other. The mixed strategy Nash equilibrium is inefficient: the players will miscoordinate with probability 13/25, leaving each player with an expected return of 6/5 (less than the payoff of 2 from each's less favored pure strategy equilibrium). It remains unclear how expectations would form that would result in a particular equilibrium being played out. One possible resolution of the difficulty involves the use of a correlated equilibrium. In its simplest form, if the players of the game have access to a commonly observed randomizing device, then they might decide to correlate their strategies in the game based on the outcome of the device. For example, if the players could flip a coin before choosing their strategies, they might agree to correlate their strategies based on the coin flip by, say, choosing ballet in the event of heads and prize fight in the event of tails. Notice that once the results of the coin flip are revealed neither player has any incentives to alter their proposed actions if they believe the other will not. The result is that perfect coordination is always achieved and, prior to the coin flip, the expected payoffs for the players are exactly equal. It remains true, however, that even if there is a correlating device, the Nash equilibria in which the players ignore it will remain; correlated equilibria require both the existence of a correlating device and the expectation that both players will use it to make their decision.