Введение

Абелева группа, расширяющая коммутативный моноид. В математике группа Гротендика, или группа разностей, коммутативного моноида M является определённой абелевой группой. Эта абелева группа конструируется из M наиболее универсальным способом, в том смысле, что любая абелева группа, содержащая гомоморфное отображение M, также будет содержать гомоморфное отображение группы Гротендика M. Конструкция группы Гротендика получила своё название от частного случая в теории категорий, введённого Александром Гротендиком в его доказательстве теоремы Гротендика — Римана — Роха, что привело к развитию K-теории. Этот частный случай — моноид классов изоморфизма объектов абелевой категории, с прямой суммой в качестве операции.

Мотивация

При наличии коммутативного моноида M, "наиболее общая" абелева группа K, порожденная M, строится путем добавления обратных элементов ко всем элементам M. Такая абелева группа K всегда существует и называется группой Гротендика моноида M. Она характеризуется определенным универсальным свойством и может быть конкретно построена из M.

Если M не обладает свойством сокращения (то есть существуют элементы a, b и c в M такие, что a + b = a + c и b ≠ c), то группа Гротендика K не может содержать M. В частности, если моноидная операция обозначается умножительно и имеет нулевой элемент, удовлетворяющий x * y = 0 для любого x, то группа Гротендика должна быть тривиальной группой (группой, состоящей из одного элемента), поскольку должно выполняться 0 = x для любого x.

Универсальная собственность

Пусть M — коммутативный моноид. Его группа Гротендика — это абелева группа K с моноидным гомоморфизмом φ, удовлетворяющим следующему универсальному свойству: для любого моноидного гомоморфизма ψ из M в абелеву группу A существует единственный групповой гомоморфизм f, такой что f ∘ ψ = φ.

Это выражает тот факт, что любая абелева группа A, содержащая гомоморфный образ M, также будет содержать гомоморфный образ K, причем K является "наиболее общей" абелевой группой, содержащей гомоморфный образ M.

Свойства

В языке теории категорий любая универсальная конструкция порождает функтор; таким образом, мы получаем функтор из категории коммутативных моноидов в категорию абелевых групп, который отображает коммутативный моноид M в его группу Гротендика K. Этот функтор является левым сопряженным к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов. Для коммутативного моноида M отображение i: M → K инъективно тогда и только тогда, когда M обладает свойством сократимости, и биективно тогда и только тогда, когда M уже является группой.

Пример: группа Гротендика многообразия

Группа Гротендика является фундаментальной конструкцией K-теории. Группа компактного многообразия M определяется как группа Гротендика коммутативного моноида всех классов изоморфизма векторных расслоений конечного ранга на M, с операцией моноида, заданной прямой суммой. Это определяет контравариантный функтор из многообразий в абелевы группы. Этот функтор изучается и обобщается в топологической K-теории.

Пример: группа Гротендика кольца

Нулевая алгебраическая группа K кольца R (не обязательно коммутативного) является группой Гротендика моноида, состоящего из классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R, с операцией моноида, заданной прямой суммой. Тогда K является ковариантным функтором из колец в абелевы группы. Два предыдущих примера связаны: рассмотрим случай, когда R — кольцо комплекснозначных гладких функций на компактном многообразии M. В этом случае проективные модули над R двойственны векторным расслоениям над M (по теореме Серре — Свана). Таким образом, K(R) и K₀(M) — одна и та же группа.

Группы Гротэндика триангулированных категорий

Далее можно обобщить понятие группы Гротендика на случай треугольных категорий. Конструкция в сущности аналогична, но использует соотношения [X] − [Y] + [Z] = 0 всякий раз, когда существует дистингвированный треугольник X → Y → Z → X[1].