Введение

Распределение вероятности

В теории вероятностей логнормальное (или логарифмически нормальное) распределение — это непрерывное распределение вероятности случайной величины, логарифм которой имеет нормальное распределение. Таким образом, если случайная величина X имеет логнормальное распределение, то log(X) имеет нормальное распределение. Эквивалентно, если Y имеет нормальное распределение, то экспоненциальная функция от Y, e^Y, имеет логнормальное распределение. Случайная величина, имеющая логнормальное распределение, принимает только положительные действительные значения. Это удобная и полезная модель для измерений в точных и инженерных науках, а также в медицине, экономике и других областях (например, энергии, концентрации, длины, цены финансовых инструментов и другие метрики). Распределение иногда называют распределением Гальтона в честь Фрэнсиса Гальтона.

Примеры повторной параметризации

Рассмотрим ситуацию, когда требуется запустить модель с использованием двух различных инструментов оптимального проектирования, например PFIM и PopED. Первый поддерживает параметризацию LN2, второй – LN7, соответственно. Следовательно, необходима перепараметризация, иначе оба инструмента выдадут разные результаты. Для перехода справедливы следующие формулы и Для перехода справедливы следующие формулы и Все остальные формулы перепараметризации можно найти в спецификации, размещенной на сайте проекта.

Умножительная центральная предельная теорема

Геометрическое или мультипликативное среднее независимых, одинаково распределённых положительных случайных величин при больших n приближённо следует логнормальному распределению с параметрами μ и σ², при условии конечности дисперсии. Фактически, случайные величины не обязательно должны быть идентично распределёнными. Достаточно, чтобы распределения всех случайных величин имели конечную дисперсию и удовлетворяли другим условиям одной из многочисленных версий центральной предельной теоремы. Это общеизвестно как закон Гибрата.

Оценка параметров

Для определения максимальных оценок правдоподобия параметров логнормального распределения μ и σ можно использовать ту же процедуру, что и для нормального распределения. Следует отметить, что

где – функция плотности нормального распределения. Следовательно, функция логарифмического правдоподобия имеет вид

Поскольку первый член постоянен относительно μ и σ, обе функции логарифмического правдоподобия, и , достигают максимума при одних и тех же значениях μ и σ. Таким образом, максимальные оценки правдоподобия совпадают с оценками для нормального распределения для наблюдений .

При конечном n оценка для μ является несмещенной, а оценка для σ – смещенной. Как и в случае нормального распределения, несмещенную оценку для σ можно получить, заменив знаменатель n на n−1 в уравнении для . Когда отдельные значения недоступны, но известно среднее выборки и стандартное отклонение s, можно использовать метод моментов. Соответствующие параметры определяются следующими формулами, полученными путем решения уравнений для математического ожидания и дисперсии для μ и σ:

Промежуточные оценки

Наиболее эффективный способ получения интервальных оценок при анализе данных, имеющих логнормальное распределение, заключается в применении хорошо известных методов, основанных на нормальном распределении, к логарифмически преобразованным данным, а затем, при необходимости, обратном преобразовании результатов.

Экстремальный принцип энтропии для фиксации свободного параметра σ

В приложениях, является параметром, который необходимо определить. Для процессов роста, сбалансированных производством и диссипацией, использование экстремального принципа энтропии Шеннона показывает, что

Это значение затем может быть использовано для установления некоторой зависимости масштабирования между точкой перегиба и максимальной точкой логнормального распределения. Значение используется для получения вероятностного решения уравнения Дрейка.

Возникновение и применение

Логнормальное распределение важно в описании природных явлений. Многие естественные процессы роста обусловлены накоплением множества небольших процентных изменений, которые становятся аддитивными в логарифмической шкале. При соответствующих условиях регулярности распределение полученных накопленных изменений будет все более точно приближаться к логнормальному, как отмечено в разделе выше о "Мультипликативной центральной предельной теореме". Это также известно как закон Гибрата, в честь Роберта Гибрата (1904–1980), который сформулировал его для компаний. Если скорость накопления этих небольших изменений не меняется со временем, рост становится независимым от размера. Даже если это предположение неверно, распределение размеров в любом возрасте растущих со временем объектов стремится к логнормальному. Следовательно, референсные диапазоны измерений у здоровых людей точнее оцениваются при допущении логнормального распределения, чем при допущении симметричного распределения относительно среднего значения. Второе обоснование основано на наблюдении, что фундаментальные законы природы подразумевают умножение и деление положительных переменных. Примерами служат простой закон всемирного тяготения, связывающий массы и расстояние с результирующей силой, или формула равновесных концентраций химических веществ в растворе, связывающая концентрации реагентов и продуктов. Предположение логнормального распределения вовлеченных переменных приводит к непротиворечивым моделям в этих случаях. Конкретные примеры приведены в следующих подразделах. Содержит обзор и таблицу логнормальных распределений из геологии, биологии, медицины, пищевой промышленности, экологии и других областей. Время, которое пользователи проводят в сети, читая статьи (шутки, новости и т.д.), следует логнормальному распределению. Длина шахматных партий, как правило, подчиняется логнормальному распределению. Длительность начала акустических сравнительных стимулов, сопоставленных со стандартным стимулом, следует логнормальному распределению. Инкубационный период заболеваний. Диаметры пятен на листьях банана, мучнистая роса на ячмене. Длина инертных придатков (волос, когтей, ногтей, зубов) биологических образцов в направлении роста. Нормализованное количество прочтений RNA-Seq для любого геномного региона может быть хорошо аппроксимировано логнормальным распределением. Длина прочтений секвенирования PacBio следует логнормальному распределению. Определенные физиологические измерения, такие как артериальное давление взрослых людей (после разделения на мужские/женские субпопуляции). Несколько фармакокинетических переменных, таких как Cmax, период полувыведения и константа скорости элиминации. В нейробиологии распределение частоты срабатывания нейронов в популяции часто приблизительно логнормально. Это было впервые замечено в коре и стриатуме, а затем в гиппокампе и энторинальной коре, а также в других областях мозга. Кроме того, распределения внутреннего усиления и распределения синаптических весов также кажутся логнормальными. Плотность нейронов в коре головного мозга из-за шумного процесса деления клеток во время нейроразвития. В управлении операционными залами распределение продолжительности операции. В размере лавин переломов в цитоскелете живых клеток, демонстрирующих логнормальное распределение, причем размер значительно больше в раковых клетках, чем в здоровых.

Химия

Распределение размеров частиц и распределение молярных масс. Концентрация редких элементов в минералах. Диаметры кристаллов в мороженом, капли масла в майонезе, поры в какао-пресс-торте. Изображение справа, созданное с помощью CumFreq, иллюстрирует пример подгонки логнормального распределения к ранжированным годовым максимумам суточных осадков, а также показывает 90%-ный доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении. Данные об осадках представлены в виде позиций при кумулятивном частотном анализе.

Социальные науки и демография

В экономике есть данные, свидетельствующие о том, что доходы 97–99% населения распределены по логнормальному закону. (Распределение доходов людей с более высокими доходами подчиняется распределению Парето). Если распределение доходов следует логнормальному распределению со стандартным отклонением σ, то коэффициент Джини, обычно используемый для оценки неравенства доходов, можно вычислить как где erf – функция ошибок, поскольку , где Φ – кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения. В финансах, в частности в модели Блэка — Шоулза, изменения логарифма обменных курсов, индексов цен и фондовых индексов предполагаются нормальными (эти переменные ведут себя как сложные проценты, а не как простые проценты, и поэтому являются мультипликативными). Однако некоторые математики, такие как Бенуа Мандельброт, утверждают, что распределения лога-Леви, обладающие тяжелыми хвостами, были бы более подходящей моделью, особенно для анализа обвалов фондового рынка. Действительно, распределения цен на акции обычно демонстрируют "толстый хвост". Распределение с "толстым хвостом" изменений во время обвалов фондового рынка ставит под сомнение предположения центральной предельной теоремы. В наукометрии количество цитирований журнальных статей и патентов следует дискретному логнормальному распределению. Численность городов (население) подчиняется закону Гибрата. Процесс роста численности населения городов пропорционален и инвариантен по отношению к размеру. Следовательно, из центральной предельной теоремы логарифм численности населения городов распределен нормально. Количество сексуальных партнеров, по-видимому, лучше всего описывается логнормальным распределением.

Технология

В анализе надежности логнормальное распределение часто используется для моделирования времени восстановления работоспособности обслуживаемой системы. В беспроводной связи "локальная средняя мощность, выраженная в логарифмических единицах, таких как дБ или непер, имеет нормальное (т.е. гауссовское) распределение". Также, случайное экранирование радиосигналов большими зданиями и холмами, называемое затенением, часто моделируется как логнормальное распределение. Распределения размеров частиц, получаемые при дроблении в результате случайных ударов, например, при шаровом помоле. Распределение размеров файлов общедоступных аудио- и видеофайлов (типы MIME) подчиняется логнормальному распределению в диапазоне пяти порядков величины. Размеры 140 миллионов файлов на персональных компьютерах с операционной системой Windows, собранные в 1999 году. При физических испытаниях, когда тест определяет время до отказа изделия в заданных условиях, данные часто лучше всего анализировать с использованием логнормального распределения.