Кіріспе
Ықтималдық үлестірімі
Ықтималдық теориясында логарифмдік қалыпты (немесе логнормальды) үлестірімі – логарифмі қалыпты үлестірілген кездейсоқ айнымалының үздіксіз ықтималдық үлестірімі. Яғни, егер кездейсоқ айнымалы X логарифмдік қалыпты үлестірілген болса, онда log(X) қалыпты үлестірілген болады. Балама түрінде, егер Y қалыпты үлестірілген болса, онда Y-дің экспоненциалдық функциясы, exp(Y), логарифмдік қалыпты үлестірілген болады. Логарифмдік қалыпты үлестірілген кездейсоқ айнымалы тек оң нақты мәндерді ғана қабылдайды. Бұл нақты және инженерлік ғылымдарда, медицинада, экономикада және басқа да салаларда (мысалы, энергия, концентрация, ұзындық, қаржы құралдарының бағасы және басқа да көрсеткіштер) өлшемдерді модельдеу үшін ыңғайлы және пайдалы модель болып табылады. Бұл үлестіріме кейде Фрэнсис Гальтонның құрметіне Гальтон үлестірімі деп те аталады.
Қайта параметрлеудің мысалдары
Екі түрлі оптималдық жобалау құралдарын, мысалы PFIM және PopED қолдана отырып модельді іске қосуды қалаған жағдайды қарастырайық. Біріншісі LN2, екіншісі LN7 параметрлеуін қолдайды. Сондықтан қайта параметрлеу қажет, әйтпесе екі құрал әртүрлі нәтижелер береді. Көшу үшін келесі формулалар орындалады және Көшу үшін келесі формулалар орындалады және Қалған барлық қайта параметрлеу формулаларын жобаның веб-сайтындағы спецификация құжатынан табуға болады.
For the transition following formulas hold and
All remaining re parameterisation formulas can be found in the specification document on the project website.
Көбейтудің орталық шектеуі теоремасы
Тәуелсіз, бірдей таралған оң кездейсоқ айнымалылардың геометриялық немесе мультипликативтік орташа мәні, егер дисперсиясы шекті болса, шамамен параметрлері және болатын логарифмдік қалыпты таралымды көрсетеді. Шындығында, кездейсоқ айнымалылардың бірдей таралуы міндетті емес. -ның барлық таралымдарының шекті дисперсиясы болуы және орталық шек теоремасының көптеген түрлерінің кез келгенінің басқа шарттары орындалуы жеткілікті. Бұл Гибрат заңы деп белгілі.
Параметрлерді бағалау
Лог-қалыпты таралу параметрлерінің μ және σ ең жоғары ықтималдық шамалаушыларын анықтау үшін қалыпты таралу үшін қолданылатын процедураны пайдалануға болады. Ескеріңіз, мұндағы – нормальды таралудың тығыздық функциясы. Сондықтан, логарифмдік ықтималдылық функциясы:
where is the density function of the normal distribution Therefore, the log likelihood function is
Since the first term is constant with regard to μ and σ, both logarithmic likelihood functions, and , reach their maximum with the same and Hence, the maximum likelihood estimators are identical to those for a normal distribution for the observations ,
For finite n, the estimator for is unbiased, but the one for is biased. As for the normal distribution, an unbiased estimator for can be obtained by replacing the denominator n by n−1 in the equation for
When the individual values are not available, but the sample's mean and standard deviation s is, then the Method of moments can be used. The corresponding parameters are determined by the following formulas, obtained from solving the equations for the expectation and variance for and :
Бірінші мүше μ және σ қатысты тұрақты болғандықтан, логарифмдік ықтималдылық функциялары және , бірдей μ және σ мәнінде максималды мәніне жетеді. Осылайша, максималды ықтималдық шамалаушылар бақылаулар үшін нормальды таралымдағы шамалаушылармен сәйкес келеді.
where is the density function of the normal distribution Therefore, the log likelihood function is
Since the first term is constant with regard to μ and σ, both logarithmic likelihood functions, and , reach their maximum with the same and Hence, the maximum likelihood estimators are identical to those for a normal distribution for the observations ,
For finite n, the estimator for is unbiased, but the one for is biased. As for the normal distribution, an unbiased estimator for can be obtained by replacing the denominator n by n−1 in the equation for
When the individual values are not available, but the sample's mean and standard deviation s is, then the Method of moments can be used. The corresponding parameters are determined by the following formulas, obtained from solving the equations for the expectation and variance for and :
n шекті болғанда, μ үшін шамалаушы бөгде, ал σ үшін шамалаушы бөгде болады. Нормальды таралымдағыдай, σ үшін бөгде шамалаушыны алу үшін, σ үшін теңдеуде n-ді n-1-ге алмастыру керек. Егер жеке мәндер белгілі болмаса, бірақ үлгінің орташасы және стандартты қатесі s белгілі болса, онда моменттер әдісін қолдануға болады. Тиісті параметрлер келесі формулалар бойынша анықталады, олар μ және σ үшін күту және дисперсия теңдеулерін шешу арқылы алынған:
where is the density function of the normal distribution Therefore, the log likelihood function is
Since the first term is constant with regard to μ and σ, both logarithmic likelihood functions, and , reach their maximum with the same and Hence, the maximum likelihood estimators are identical to those for a normal distribution for the observations ,
For finite n, the estimator for is unbiased, but the one for is biased. As for the normal distribution, an unbiased estimator for can be obtained by replacing the denominator n by n−1 in the equation for
When the individual values are not available, but the sample's mean and standard deviation s is, then the Method of moments can be used. The corresponding parameters are determined by the following formulas, obtained from solving the equations for the expectation and variance for and :
Аралық бағалаулар
Логарифмдік түрде таралған деректерді талдағанда интервалдық бағалаулар алудың ең тиімді жолы – логарифмдік түрде түрлендірілген деректерге қалыпты таралымға негізделген әдістерді қолдану, содан кейін қажет болса нәтижелерді бастапқы күйіне қайтарудан тұрады.
Еркін параметрді σ бекіту үшін энтропияның шекті принципі
Қолданбаларда параметр анықталуға тиіс. Өндіріс және таралу арқылы теңгерілген өсу процестері үшін Шеннон энтропиясының экстремалды қағидасын қолдану, бұл мәнді логарифмдік қалыпты таралудың икемделу нүктесі мен максималды нүктесі арасындағы масштабталу қатынасын беруге болатынын көрсетеді. Бұл мән Дрейк теңдеуіне ықтималдық шешім табу үшін қолданылады.
This value can then be used to give some scaling relation between the inflexion point and maximum point of the log normal distribution. The value is used to provide a probabilistic solution for the Drake equation.
Пайдалануы және қолданылуы
Лог-нормальді үлестіру табиғи құбылыстарды сипаттауда маңызды рөл атқарады. Көптеген табиғи өсу процестері лог-өлшемде қосылатын көптеген шағын пайыздық өзгерістердің жинақталуымен жүзеге асырылады. Тиісті реттелу шарттары орындалғанда, жинақталған өзгерістердің үлестірілуі жоғарыдағы "Көбейтудің орталық шектеу теоремасы" бөлімінде көрсетілгендей, лог-нормальді үлестіруге жақын болады. Бұл құбылыс Роберт Гибраттың (1904–1980) есімімен аталатын Гибрат заңы ретінде белгілі, ол алғаш рет компаниялар үшін осы заңды формулирлеген. Егер осы шағын өзгерістердің жинақталу жылдамдығы уақыт өте өзгермесе, өсу мөлшерге тәуелсіз болады. Бұл шарт орындалмаса да, уақыт өте өсетін объектілердің кез келген уақыттағы мөлшерінің үлестірілуі лог-нормальді болады. Осыған байланысты, сау адамдардағы өлшемдердің қалыпты диапазоны симметриялық үлестіруді емес, лог-нормальді үлестіруді негізге алғанда дәлірек анықталады. Тағы бір негіздеме – табиғи заңдардың көпшілігі оң айнымалылардың көбейтілуі мен бөлінуіне байланысты екендігін байқау. Мысалға, масса мен қашықтықты күшпен байланыстыратын гравитация заңы немесе ерітіндідегі химиялық тепе-теңдіктің концентрациясын анықтайтын формула, заттар мен өнімдердің концентрациясын байланыстырады. Мұндай жағдайларда айнымалылардың лог-нормальді үлестірілуін қабылдау дәйекті модельдерді құруға мүмкіндік береді. Нақты мысалдар төмендегі бөлімдерде келтірілген. Онда геология, биология, медицина, тамақ өнімдері, экология және басқа да салалардағы лог-нормальді үлестірулер туралы шолу мен кесте ұсынылған. Пайдаланушылардың онлайн мақалаларға (әзілдер, жаңалықтар және т.б.) жұмсайтын уақыты лог-нормальді үлестіруді ұстанады. Шахмат ойындарының ұзақтығы лог-нормальді үлестіруге сәйкес келеді. Стандартты стимулға сәйкес келетін акустикалық стимулдардың басталу ұзақтығы лог-нормальді үлестіруді ұстанады. Аурудың инкубациялық кезеңі. Банан жапырақтарындағы дақтардың диаметрі, арпаның ұн тәрізді шіруі. Биологиялық үлгілердің инертті қосымшаларының (шаш, тырнақ, тіс және т.б.) өсу бағытындағы ұзындығы. Кез келген геномдық аймақ үшін нормаланған RNA-Seq оқу санын лог-нормальді үлестіру арқылы жақсы бағалауға болады. PacBio секвенциясының оқу ұзындығы лог-нормальді үлестіруді ұстанады. Кейбір физиологиялық өлшемдер, мысалы ересек адамдардың қан қысымы (жыныс бойынша топтарға бөлгеннен кейін). Бірнеше фармакокинетикалық айнымалылар, мысалы Cmax, жартылай шығарылу кезеңі және шығарылу жылдамдығы тұрақтысы. Нейробиологияда нейрондар тобының атылу жиілігінің үлестірілуі көбінесе лог-нормальді болады. Бұл алғаш рет ми қабығы мен жолақты денеде, кейін гиппокамп пен энторинальды қабықта және мидың басқа бөліктерінде байқалды. Сонымен қатар, ішкі күшейтудің үлестірілуі мен синапстық салмақтың үлестірілуі де лог-нормальді болып көрінеді. Ми қабығындағы нейрондардың тығыздығы, оның себебі нейрогенез кезіндегі жасушалардың бөліну процесінің шулы болуы. Хирургиялық операциялардың ұзақтығын басқаруда. Тірі жасушалардың цитоскелетіндегі сынықтардың лавинасының мөлшері, бұл лог-нормальді үлестіруді көрсетеді, онда қатерлі ісік жасушаларындағы мөлшері сау жасушаларға қарағанда айтарлықтай жоғары.
Химия
Бөлшек мөлшерінің таралуы және молярлық массаның таралуы. Минералдардағы сирек элементтердің концентрациясы. Мұздағы кристалдардың диаметрі, майонездегі май тамшылары, какао пресс-тортындағы кеуектің диаметрі. Оң жақтағы сурет CumFreq бағдарламасымен жасалған, онда логарифмдік нормальді таралымға жылдық ең көп бір күндік жауын-шашынның реті бойынша сәйкестендіру мысалы көрсетілген, сонымен қатар биномдық таралымға негізделген 90% сенімділік белдеуі де көрсетілген. Жауын-шашын деректері жиынтық жиілік талдауының бөлігі ретінде орналасулар арқылы көрсетілген.
Әлеуметтік ғылымдар және демография
Экономикада халықтың 97%-ның табысы 99%-ға дейін логарифмдік қалыпты үлестіріліммен таралады деген дәлелдер бар. (Жоғары табысты адамдардың табысы Парето үлестіріліміне сәйкес келеді). Егер табыс үлестірімі стандартты қатесімен логарифмдік қалыпты үлестірілімді ұстанса, онда табыс теңсіздігін бағалауға жиі қолданылатын Джини коэффициентін келесідей есептеуге болады: , мұнда – қателік функциясы, себебі , мұнда – стандартты қалыпты үлестірілімнің жиынтық үлестірілім функциясы. Қаржы саласында, әсіресе Блэк-Шоулз моделінде, валюта бағамдарының логарифміндегі өзгерістер, баға индекстері және қор нарығы индекстері қалыпты деп есептеледі (бұл айнымалылар жай пайыз емес, күрделі пайыз сияқты мінез-құлық танытады, сондықтан көбейтіледі). Алайда, Беноа Мандельбро сияқты кейбір математиктер, ауыр құйрықтары бар лог Леви үлестірілімдері, әсіресе қор нарығының құлдырауын талдау үшін, тиімдірек модель болатынын айтты. Шындығында, акция бағасының үлестірілімі көбінесе қалың құйрықты көрсетеді. Акция нарығының құлдырауы кезіндегі өзгерістердің қалың құйрықты үлестірілімі орталық шек теоремасының болжамдарын күштен шығарады. Ғылымметрикада журналдық мақалалар мен патенттерге жасалған сілтемелердің саны дискретті логарифмдік қалыпты үлестірілімді ұстанады. Қалалардың мөлшері (халық саны) Гибрат заңына бағынады. Қалалардың өсу процесі мөлшеріне пропорционалды және өзгермейтін болып табылады. Сондықтан орталық шек теоремасы бойынша, қала мөлшерінің логарифмі қалыпты үлестірілімді ұстанады. Жыныстық серіктестердің саны логарифмдік қалыпты үлестіріліммен ең жақсы сипатталатын сияқты.
Технология
Сенімділікті талдау кезінде лог-нормальді үлестіру көбінесе күтіп ұсталатын жүйені жөндеу уақытын модельдеу үшін қолданылады. Сымсыз байланыста "децибел немесе непер сияқты логарифмдік шамаларда берілген жергілікті орташа қуаттың нормальді (яғни, Гаусс) үлестірілімі болады". Сондай-ақ, үлкен ғимараттар мен төбелердің әсерінен радиосигналдардың кездейсоқ кедергісі, көлеңкелеу деп аталады, көбінесе лог-нормальді үлестіру ретінде моделіделеді. Кездейсоқ соққылар арқылы ұсақтау нәтижесінде пайда болатын бөлшектердің мөлшері, мысалы, шарлы дискілерде. Қоғамдық қолжетімді аудио және бейне файлдарының (MIME түрлері) файл мөлшерінің үлестірілімі бес разрядты лог-нормальді үлестіруді сақтайды. 1999 жылы Windows операциялық жүйесінде жұмыс істейтін жеке компьютерлердегі 140 миллион файлдың файл мөлшері жинақталды. Физикалық сынақтарда, егер сынақ белгілі жағдайларда бұйымның істен шығу уақытын анықтаса, деректерді лог-нормальді үлестіру арқылы талдау тиімді.
in physical testing when the test produces a time to failure of an item under specified conditions, the data is often best analyzed using a lognormal distribution.