Введение
Интегральная решетка с детерминантом 1 или −1
В геометрии и математической теории групп унимодульная решетка — это интегральная решетка, имеющая детерминант 1 или −1. Для решетки в n-мерном евклидовом пространстве это эквивалентно требованию, чтобы объем любой фундаментальной области для этой решетки был равен 1. Решетка E8 и решетка Лича — два известных примера.
Определения
Сетка — это свободная абелева группа конечного ранга с симметричной двулинейной формой (·, ·). Сетка называется интегральной, если (·, ·) принимает целые значения. Размерность решетки равна ее рангу (как Z-модулю). Нормой элемента решетки a называется (a, a). Решетка называется положительно определенной, если норма всех ненулевых элементов положительна. Детерминант решетки — это детерминант матрицы Грама, матрицы с элементами (ai, aj), где элементы ai образуют базис решетки. Интегральная решетка называется унимодульной, если ее детерминант равен 1 или −1. Унимодульная решетка является четной или решеткой типа II, если все ее нормы четны, иначе — нечетной или решеткой типа I. Минимальная норма положительно определенной решетки — это наименьшая ненулевая норма. Решетки часто вкладываются в вещественное векторное пространство с симметричной двулинейной формой. Решетка называется положительно определенной, лоренцевой и т. д., если таково ее векторное пространство. Подпись решетки — это подпись формы на векторном пространстве.
Свойства
Интегральная решетка является одномодульной тогда и только тогда, когда ее двойная решетка является интегральной. Одномодульные решетки равны своим двойным решеткам, и по этой причине одномодульные решетки также известны как самодвойственные. Для пары (m,n) неотрицательных целых чисел четная одномодульная решетка сигнатуры (m,n) существует тогда и только тогда, когда m−n делится на 8, но нечетная одномодульная решетка сигнатуры (m,n) всегда существует. В частности, четные одномодульные определенные решетки существуют только в размерности, кратной 8. Примеры для всех допустимых сигнатур даются конструкциями IIm,n и Im,n соответственно. Тета-функция одномодульной положительно определенной решетки является модулярной формой, вес которой равен половине ранга. Если решетка четная, форма имеет уровень 1, а если решетка нечетная, форма имеет структуру Γ0(4) (то есть является модулярной формой уровня 4). В силу ограничения размерности пространств модулярных форм, минимальная норма ненулевого вектора четной одномодульной решетки не превосходит ⎣n/24⎦ + 1. Четная одномодульная решетка, достигающая этой границы, называется экстремальной. Экстремальные четные одномодульные решетки известны в соответствующих размерностях до 80, а их несуществование доказано для размерностей больше 163,264.
Приложения
Вторая когомологическая группа замкнутого простосвязного ориентированного топологического 4-многообразия является унимодулярной решеткой. Майкл Фридман показал, что эта решетка почти полностью определяет многообразие: для каждой четной унимодулярной решетки существует единственное соответствующее многообразие, а для каждой нечетной – ровно два. В частности, если взять решетку равной 0, то из этого следует гипотеза Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона утверждает, что если многообразие гладкое и решетка положительно определена, то оно должно быть суммой копий Z, поэтому большинство этих многообразий не имеют гладкой структуры. Одним из таких примеров является многообразие.