Введение
Свойство, включающее две математические операции
In mathematics, the distributive property of binary operations is a generalization of the distributive law, which asserts that the equality
is always true in elementary algebra. For example, in elementary arithmetic, one has
Therefore, one would say that multiplication distributes over addition. This basic property of numbers is part of the definition of most algebraic structures that have two operations called addition and multiplication, such as complex numbers, polynomials, matrices, rings, and fields. It is also encountered in Boolean algebra and mathematical logic, where each of the logical and (denoted ) and the logical or (denoted ) distributes over the other.
В математике распределительное свойство бинарных операций является обобщением распределительного закона, который утверждает, что равенство всегда верно в элементарной алгебре. Например, в элементарной арифметике выполняется следующее:
In mathematics, the distributive property of binary operations is a generalization of the distributive law, which asserts that the equality
is always true in elementary algebra. For example, in elementary arithmetic, one has
Therefore, one would say that multiplication distributes over addition. This basic property of numbers is part of the definition of most algebraic structures that have two operations called addition and multiplication, such as complex numbers, polynomials, matrices, rings, and fields. It is also encountered in Boolean algebra and mathematical logic, where each of the logical and (denoted ) and the logical or (denoted ) distributes over the other.
Следовательно, говорят, что умножение распределяется относительно сложения. Это базовое свойство чисел является частью определения большинства алгебраических структур, имеющих две операции, называемые сложением и умножением, таких как комплексные числа, полиномы, матрицы, кольца и поля. Оно также встречается в булевой алгебре и математической логике, где каждая из логических операций «И» (обозначается ∧) и «ИЛИ» (обозначается ∨) распределяется относительно другой.
In mathematics, the distributive property of binary operations is a generalization of the distributive law, which asserts that the equality
is always true in elementary algebra. For example, in elementary arithmetic, one has
Therefore, one would say that multiplication distributes over addition. This basic property of numbers is part of the definition of most algebraic structures that have two operations called addition and multiplication, such as complex numbers, polynomials, matrices, rings, and fields. It is also encountered in Boolean algebra and mathematical logic, where each of the logical and (denoted ) and the logical or (denoted ) distributes over the other.
Правило замены
В стандартной логике функциональной логики высказываний распределение в логических доказательствах использует два допустимых правила подстановки для разложения отдельных вхождений определенных логических связок внутри некоторой формулы на отдельные применения этих связок к подформулам данной формулы. Эти правила обозначены
где "", также записываемый как , является металогическим символом, обозначающим "может быть заменено в доказательстве" или "логически эквивалентно".
Распределение и округление
В приближённой арифметике, такой как арифметика с плавающей точкой, дистрибутивное свойство умножения (и деления) относительно сложения может не выполняться из-за ограниченной точности вычислений. Например, тождество не выполняется в десятичной арифметике, независимо от числа значащих цифр. Методы, такие как округление к ближайшему чётному, могут помочь в некоторых случаях, как и повышение точности, но в конечном счёте некоторые ошибки вычислений неизбежны.
Обобщения
В нескольких математических областях рассматриваются обобщённые законы дистрибутивности. Это может включать ослабление вышеуказанных условий или расширение на бесконечные операции. Особенно в теории порядка можно найти многочисленные важные варианты дистрибутивности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон дистрибутивности; другие определяются в присутствии только одной бинарной операции, такие как соответствующие определения и их соотношения, представленные в статье «Дистрибутивность (теория порядка)». Это также включает понятие полностью дистрибутивной решётки. При наличии отношения порядка можно также ослабить вышеуказанные равенства, заменив ≤ на ≥ или наоборот. Естественно, это приведёт к осмысленным понятиям только в некоторых ситуациях. Примером применения этого принципа является понятие субдистрибутивности, как объяснено в статье об интервальной арифметике. В теории категорий, если T и U – монады на категории C, то закон дистрибутивности – это естественное преобразование T → U, такое что оно является слабым отображением монады T и кослабым отображением монады U. Это как раз те данные, необходимые для определения структуры монады на C: отображение умножения – μ: T² → T, а отображение единицы – η: C → T. См. статью «Закон дистрибутивности между монадами». Обобщённый закон дистрибутивности также был предложен в области теории информации.