Решение Шварцшильда: Сферически симметричное пространство-время в общей теории относительности.
Derivation of the Schwarzschild solution
Решение Шварцшильда: описание пространства-времени вокруг массивных, не вращающихся объектов. Простое и полезное решение уравнений Эйнштейна. Сферическая симметрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Решение Шварцшильда описывает пространство-время под влиянием массивного, не вращающегося, сферически симметричного объекта. Некоторые считают его одним из самых простых и полезных решений уравнений Эйнштейна.
The Schwarzschild solution describes spacetime under the influence of a massive, non rotating, spherically symmetric object. It is considered by some to be one of the simplest and most useful solutions to the Einstein field equations .
Предположения и обозначение
Работая в координатной сетке с координатами, пронумерованными от 1 до 4, мы начинаем с метрики в её наиболее общей форме (10 независимых компонент, каждая из которых является гладкой функцией 4 переменных). Решение предполагается сферически симметричным, статичным и описывающим вакуум. Для целей данной статьи эти предположения можно сформулировать следующим образом (см. соответствующие ссылки для точных определений):
Working in a coordinate chart with coordinates labelled 1 to 4 respectively, we begin with the metric in its most general form (10 independent components, each of which is a smooth function of 4 variables). The solution is assumed to be spherically symmetric, static and vacuum. For the purposes of this article, these assumptions may be stated as follows (see the relevant links for precise definitions):
Сферически симметричное пространство-время – это пространство-время, инвариантное относительно вращений и отражений. Статичное пространство-время – это пространство-время, в котором все компоненты метрики не зависят от временной координаты (то есть ) и геометрия пространства-времени не изменяется при обращении времени. Вакуумное решение – это решение, удовлетворяющее уравнению. Из уравнений Эйнштейна (при нулевой космологической постоянной) следует, что , поскольку свёртывание даёт . Используемая здесь метрическая сигнатура: (+, +, +, −).
A spherically symmetric spacetime is one that is invariant under rotations and taking the mirror image. A static spacetime is one in which all metric components are independent of the time coordinate (so that ) and the geometry of the spacetime is unchanged under a time reversal A vacuum solution is one that satisfies the equation From the Einstein field equations (with zero cosmological constant), this implies that since contracting yields Metric signature used here is (+,+,+,−).
Вычисление символов Кристофеля
Используя указанную метрику, мы находим символы Кристоффеля, где индексы — это обозначение полной производной функции.
Using the metric above, we find the Christoffel symbols, where the indices are The sign denotes a total derivative of a function.
При выводе метрики Шварцшильда предполагалось, что метрика является вакуумной, сферически симметричной и статической. Предположение о стационарности избыточно, поскольку теорема Биркоффа утверждает, что любое сферически симметричное вакуумное решение уравнений Эйнштейна является стационарным; из этого следует решение Шварцшильда. Следствием теоремы Биркоффа является то, что любая пульсирующая звезда, сохраняющая сферическую симметрию, не генерирует гравитационные волны, так как область пространства вне звезды остаётся стационарной.
In deriving the Schwarzschild metric, it was assumed that the metric was vacuum, spherically symmetric and static. The static assumption is unneeded, as Birkhoff's theorem states that any spherically symmetric vacuum solution of Einstein's field equations is stationary; the Schwarzschild solution thus follows. Birkhoff's theorem has the consequence that any pulsating star that remains spherically symmetric does not generate gravitational waves, as the region exterior to the star remains static.