Фундаментальные многоугольники и классификация римановых поверхностей.

Введение

В математике фундаментальный многоугольник может быть определен для каждой компактной поверхности Римана рода, большего 0. Он кодирует не только топологию поверхности посредством своей фундаментальной группы, но и однозначно определяет поверхность Римана с точностью до конформной эквивалентности. По теореме об униформизации, каждая компактная поверхность Римана имеет простосвязную универсальную накрывающую поверхность, заданную ровно одним из следующих: сферой Римана, комплексной плоскостью, единичным диском D или, эквивалентно, верхней полуплоскостью H. В первом случае, при роде, равном нулю, поверхность конформно эквивалентна сфере Римана. Во втором случае, при роде, равном одному, поверхность конформно эквивалентна тору C/Λ для некоторой решетки Λ в C. Фундаментальный многоугольник Λ, если предположить его выпуклость, может быть выбран в виде параллелограмма периода или центрально-симметричного шестиугольника – результат, впервые доказанный Федоровым в 1891 году. В последнем случае, при роде g > 1, поверхность Римана конформно эквивалентна H/Γ, где Γ – группа Фукса преобразований Мёбиуса. Фундаментальная область для Γ задается выпуклым многоугольником относительно гиперболической метрики на H. Эти многоугольники могут быть определены как многоугольники Дирихле и имеют четное число сторон. Структура фундаментальной группы Γ может быть определена по такому многоугольнику. Используя теорию квазиконформных отображений и уравнение Бельтрами, можно показать существование канонического выпуклого фундаментального многоугольника с 4g сторонами, впервые определенного Фрике, который соответствует стандартному представлению Γ как группы с 2g образующими a1, b1, a2, b2, ..., ag, bg и единственному отношению [a1,b1][a2,b2]…[ag,bg] = 1, где [a,b] = aba−1b−1. Любая риманова метрика на ориентированном замкнутом 2-многообразии M определяет комплексную структуру на M, делая M компактной поверхностью Римана. Благодаря использованию фундаментальных многоугольников, следует, что два ориентированных замкнутых 2-многообразия классифицируются по своему роду, то есть половине ранга абелевой группы Γ/[Γ,Γ], где Γ = π1(M). Кроме того, из теории квазиконформных отображений также следует, что две компактные поверхности Римана диффеоморфны тогда и только тогда, когда они гомеоморфны. Следовательно, два замкнутых ориентированных 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны. Этот результат также может быть доказан методами дифференциальной топологии.

In mathematics, a fundamental polygon can be defined for every compact Riemann surface of genus greater than 0. It encodes not only the topology of the surface through its fundamental group but also determines the Riemann surface up to conformal equivalence. By the uniformization theorem, every compact Riemann surface has simply connected universal covering surface given by exactly one of the following:

the Riemann sphere,
the complex plane,
the unit disk D or equivalently the upper half plane H.

In the first case of genus zero, the surface is conformally equivalent to the Riemann sphere. In the second case of genus one, the surface is conformally equivalent to a torus C/Λ for some lattice Λ in C. The fundamental polygon of Λ, if assumed convex, may be taken to be either a period parallelogram or a centrally symmetric hexagon, a result first proved by Fedorov in 1891. In the last case of genus g > 1, the Riemann surface is conformally equivalent to H/Γ where Γ is a Fuchsian group of Möbius transformations. A fundamental domain for Γ is given by a convex polygon for the hyperbolic metric on H. These can be defined by Dirichlet polygons and have an even number of sides. The structure of the fundamental group Γ can be read off from such a polygon. Using the theory of quasiconformal mappings and the Beltrami equation, it can be shown there is a canonical convex fundamental polygon with 4g sides, first defined by Fricke, which corresponds to the standard presentation of Γ as the group with 2g generators a1, b1, a2, b2, , ag, bg and the single relation [a1,b1][a2,b2] ⋅⋅⋅ [ag,bg] = 1, where [a,b] = a b a−1b−1. Any Riemannian metric on an oriented closed 2 manifold M defines a complex structure on M, making M a compact Riemann surface. Through the use of fundamental polygons, it follows that two oriented closed 2 manifolds are classified by their genus, that is half the rank of the Abelian group Γ/[Γ,Γ], where Γ = 1(M). Moreover, it also follows from the theory of quasiconformal mappings that two compact Riemann surfaces are diffeomorphic if and only if they are homeomorphic. Consequently, two closed oriented 2 manifolds are
homeomorphic if and only if they are diffeomorphic. Such a result can also be proved using the methods of differential topology.

Параллелограммы и центрально симметричные шестиугольники

В случае рода один ищется фундаментальный выпуклый многоугольник для действия сдвигом Λ = Z a ⊕ Z b на R2 = C, где a и b линейно независимы над R. (После выполнения вещественного линейного преобразования на R2, при необходимости можно предположить, что Λ = Z2 = Z + Z i; для поверхности Римана рода один можно принять форму Λ = Z2 = Z + Z ω, с Im ω > 0.) Фундаментальная область задается параллелограммом s 'x' + t 'y' для 0 < s, t < 1, где 'x' и 'y' – образующие Λ. Если C – внутренняя область фундаментального выпуклого многоугольника, то сдвиги + x покрывают R2 при пробеге x по Λ. Следовательно, граничные точки C образуются пересечениями ∩ (+ x). Это компактные выпуклые множества в ∂C и, таким образом, либо вершины C, либо стороны C. Отсюда следует, что каждую замкнутую сторону C можно представить таким образом. Сдвинув на −x, получаем, что ∩ (−x) также является стороной C. Таким образом, стороны C встречаются параллельными парами одинаковой длины. Конечные точки двух таких параллельных отрезков одинаковой длины можно соединить так, чтобы они пересекались, причем пересечение происходит в серединах отрезков, соединяющих конечные точки. Следовательно, пересечения всех таких отрезков происходят в одной точке. Перенеся эту точку в начало координат, получаем, что многоугольник центрально симметричен; то есть, если точка z находится внутри многоугольника, то и −z тоже. Легко видеть, что сдвиги центрально симметричного выпуклого шестиугольника образуют мощение плоскости. Если A – точка шестиугольника, то решетка порождается векторами смещения AB и AC, где B и C – две вершины, не являющиеся соседями A и не противоположными A. Действительно, на второй картинке показано, как шестиугольник эквивалентен параллелограмму, полученному путем смещения двух треугольников, отсеченных отрезками AB и AC. Аналогично, на первой картинке показан другой способ сопоставления мощения параллелограммами с шестиугольным мощением. Если центр шестиугольника – 0, а вершины в порядке a, b, c, −a, −b и −c, то Λ является абелевой группой с образующими 'a' + 'b' и 'b' + 'c'.

In the case of genus one, a fundamental convex polygon is sought for the action by translation of Λ = Z a ⊕ Z b on R2 = C where a and b are linearly independent over R. (After performing a real linear transformation on R2, it can be assumed if necessary that Λ = Z2 = Z + Z i; for a genus one Riemann surface it can be taken to have the form Λ = Z2 = Z + Z ω, with Im ω > 0.) A fundamental domain is given by the parallelogram s 'x' + t 'y' for 1=0 < s , t < 1 where 'x' and 'y' are generators of Λ. If C is the interior of a fundamental convex polygon, then the translates + x cover R2 as x runs over Λ. It follows that the boundary points of C are formed of intersections ∩ ( + x). These are compact convex sets in ∂C and thus either vertices of C or sides of C. It follows that every closed side of C can be written this way. Translating by −x it follows that ∩ ( − x) is also a side of C. Thus sides of C occur in parallel pairs of equal length. The end points of two such parallel segments of equal length can be joined so that they intersect and the intersection occurs at the midpoints of the line segments joining the endpoints. It follows that the intersections of al such segments occur at the same point. Translating that point to the origin, it follows that the polygon is centrally symmetric; that is, if a point z is in the polygon, so too is −z. It is easy to see translates of a centrally symmetric convex hexagon tessellate the plane. If A is a point of the hexagon, then the lattice is generated by the displacement vectors AB and AC where B and C are the two vertices which are not neighbours of A and not opposite A. Indeed, the second picture shows how the hexagon is equivalent to the parallelogram obtained by displacing the two triangles chopped off by the segments AB and AC. Equally well the first picture shows another way of matching a tiling by parallelograms with the hexagonal tiling. If the centre of the hexagon is 0 and the vertices in order are a, b, c, −a, −b and −c, then Λ is the Abelian group with generators 'a' + 'b' and 'b' + 'c'.

Домены Дирихлета и Вороной

Для решетки Λ в C = R2 фундаментальный домен может быть определен канонически с использованием конформной структуры C. Обратите внимание, что группа конформных преобразований C задается комплексными аффинными преобразованиями g(z) = az + b, где a ≠ 0. Эти преобразования сохраняют евклидову метрику с точностью до множителя, а также сохраняют ориентацию. Это подгруппа группы Мебиуса, фиксирующая точку в ∞. Метрическую структуру можно использовать для определения канонической фундаментальной области как C = {z: d(z, 0) < d(z, λ) для всех λ ≠ 0 в Λ}. (Из определения очевидно, что это фундаментальная область.) Это пример области Дирихле или диаграммы Вороного: поскольку комплексные сдвиги образуют абелеву группу и коммутируют с действием Λ, эти понятия совпадают. Каноническая фундаментальная область для Λ = Z + Zω с Im ω > 0 является либо симметричным выпуклым параллелограммом, либо шестиугольником с центром 0. В силу конформной эквивалентности период ω можно дополнительно ограничить, чтобы удовлетворять условиям, и, как показал Дирихле ("теорема шестиугольника Дирихле", 1850), для почти всех ω фундаментальная область является шестиугольником. При Re ω > 0 середины сторон задаются значениями ±1/2, ±ω/2 и ±(ω – 1)/2; стороны пересекают соответствующие радиусы из 0 ортогонально, что полностью определяет вершины. Фактически, первая вершина должна иметь вид (1 + ix)/2 и ω(1 + iy)/2, где x и y – действительные числа; следовательно, если ω = a + ib, то a – by = 1 и x = b + ay. Отсюда y = (a – 1)/b и x = (a² + b² – a)/b. Таким образом, шесть вершин составляют ±ω(1 – iy)/2 и ±(1 ± ix)/2.

Нормализованный многоугольник

В этом разделе, начиная с произвольного многоугольника Дирихле, будет дано описание метода, разработанного в работе , для модификации многоугольника в невыпуклый многоугольник с 4g эквивалентными вершинами и каноническим сопряжением на сторонах. Данное рассмотрение является аналитическим аналогом классической топологической классификации ориентируемых двумерных многогранников, представленной в работе .

Канонический полигон Фрике

Учитывая поверхность Римана рода g, большего единицы, Фрике описал другой фундаментальный многоугольник – канонический многоугольник Фрике, являющийся особым примером многоугольника Дирихле. Этот многоугольник связан со стандартным представлением фундаментальной группы поверхности. Оригинальная конструкция Фрике сложна и описана в работах, где, используя теорию квазиконформных отображений Альфорса и Берса, была предложена новая, более короткая и точная версия конструкции Фрике. Канонический многоугольник Фрике обладает следующими свойствами:

Многоугольник Фрике имеет 4g вершин, все из которых лежат на орбите Γ. Под вершиной понимается точка, в которой сходятся две стороны. Стороны объединяются в отдельные пары, при этом существует единственный элемент Γ, переносящий одну сторону в парную, меняя ориентацию. Поскольку действие Γ сохраняет ориентацию, если одна сторона обозначена как , то другая сторона пары может быть помечена противоположной ориентацией . Стороны стандартного многоугольника можно расположить так, чтобы список смежных сторон имел вид . То есть, пары сторон можно расположить таким образом, чтобы они переплетались. Стороны являются геодезическими дугами. Каждый из внутренних углов многоугольника Фрике строго меньше , что обеспечивает строгую выпуклость многоугольника, а их сумма равна 2. Приведенной выше конструкции достаточно, чтобы гарантировать, что каждая сторона многоугольника является замкнутым (нетривиальным) циклом на поверхности Римана H/Γ. Следовательно, каждая сторона может рассматриваться как элемент фундаментальной группы. В частности, фундаментальная группа имеет 2g образующих, с единственным определяющим соотношением.

Род поверхности Римана H/Γ равен g.

Площадь

Площадь стандартного фундаментального многоугольника равна , где g — род поверхности Римана (эквивалентно, где 4g — число сторон многоугольника). Поскольку стандартный многоугольник является представителем H/Γ, общая площадь поверхности Римана равна площади стандартного многоугольника. Формула для площади вытекает из теоремы Гаусса — Бонне и в определенном смысле обобщается формулой Римана — Гурвица.