Введение

В математике треугольная категория — это категория, снабжённая дополнительной структурой в виде "функтора сдвига" и класса "точных треугольников". Примечательными примерами являются производная категория абелевой категории, а также стабильная гомотопическая категория. Точные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевой категории, а также последовательности волокон и коволокон в топологии. Значительная часть гомологической алгебры проясняется и расширяется с помощью языка треугольных категорий, важным примером чего является теория когомологий пучков. В 1960-х годах типичным применением треугольных категорий было расширение свойств пучков на пространстве X до комплексов пучков, рассматриваемых как объекты производной категории пучков на X. В последнее время треугольные категории сами по себе стали объектом изучения. Было доказано или сформулировано множество эквивалентностей между треугольными категориями различного происхождения. Например, гипотеза гомологической зеркальной симметрии предсказывает, что производная категория многообразия Калаби — Яу эквивалентна категории Фукая его "зеркального" симплектического многообразия. Оператор сдвига является декатегоризованным аналогом треугольной категории.

История

Треугольные категории были введены независимо Дитером Пуппе (1962) и Жаном Луи Вердье (1963), хотя аксиоматика Пуппе была менее полной (ей не хватало аксиомы октаэдра (TR 4)). Пуппе был мотивирован категорией стабильных гомотопий. Ключевым примером Вердье была производная категория абелевой категории, которую он также определил, развивая идеи Александра Гротендика. К ранним приложениям производных категорий относятся когерентная дуальность и дуальность Вердье, обобщающая дуальность Пуанкаре на особые пространства.

ТР 3

Если даны два точных треугольника и отображение между первыми морфизмами в каждом треугольнике, то существует морфизм между третьими объектами в каждом из двух треугольников, делающий всю диаграмму коммутативной. То есть, в следующей диаграмме (где две строки являются точными треугольниками, а f и g – морфизмы, такие что gu = u′f), существует отображение h (не обязательно единственное), делающее все квадраты коммутативными:

Нефункциональность конусной конструкции

Одним из технических осложнений, связанных с треугольными категориями, является то, что построение конуса не является функториальным. Например, задав кольцо и частичное отображение между различными треугольниками, можно построить два отображения, дополняющих эту диаграмму. Это может быть тождественное отображение или нулевое отображение, оба из которых коммутативны. Существование двух таких отображений является отражением того факта, что триангулированная категория – это инструмент, кодирующий гомотопические пределы и копределы. Одно из решений этой проблемы было предложено Гротендиком, который предложил рассматривать не только производную категорию, но и производную категорию диаграмм на этой категории. Такой объект называется дериватором.

Есть ли лучшие аксиомы?

Некоторые эксперты подозревают, что триангулированные категории – не совсем то "правильное" понятие (см., например, стр. 190). Основная причина в том, что конус морфизма уникален лишь с точностью до изоморфизма, который не является единственным. В частности, конус морфизма в общем случае не зависит от морфизма функториально (обратите внимание, например, на отсутствие единственности в аксиоме (TR 3)). Эта не-единственность может быть источником ошибок. Тем не менее, аксиомы хорошо работают на практике, и существует обширная литература, посвященная их исследованию.

Дериваторы

Одним из альтернативных предложений является теория дериваторов, предложенная Гротендиком в работе "Преследование стеков" в 80-х годах. В отличие от этого, существует пример точного функтора из в , который не возникает из комплекса пучков на . В свете этого примера, "правильное" понятие морфизма между триангулированными категориями представляется тем, который происходит из морфизма лежащих в основе dg-категорий (или стабильных ∞-категорий). Еще одно преимущество стабильных ∞-категорий или dg-категорий перед триангулированными категориями проявляется в алгебраической K-теории. Можно определить алгебраическую K-теорию стабильной ∞-категории или dg-категории C, получая последовательность абелевых групп для целых чисел i. Группа имеет простое описание в терминах триангулированной категории, ассоциированной с C. Однако пример показывает, что высшие K-группы dg-категории не всегда определяются ассоциированной триангулированной категорией. Таким образом, триангулированная категория имеет однозначно определенную группу, но в общем случае не высшие K-группы. С другой стороны, теория триангулированных категорий проще, чем теория стабильных ∞-категорий или dg-категорий, и во многих приложениях триангулированной структуры достаточно. Примером служит доказательство гипотезы Блох–Като, где многие вычисления были выполнены на уровне триангулированных категорий, и дополнительная структура ∞-категорий или dg-категорий не требовалась.

t-структуры

Для каждой абелевой категории A, производная категория D(A) является треугольной категорией, содержащей A как полную подкатегорию (комплексы, сконцентрированные в нулевой степени). Различные абелевы категории могут иметь эквивалентные производные категории, поэтому не всегда возможно восстановить A из D(A) как треугольную категорию. Александр Бейлинсон, Джозеф Бернштейн и Пьер Делинье описали эту ситуацию с помощью понятия t-структуры на треугольной категории D. T-структура на D определяет абелеву категорию внутри D, и различные t-структуры на D могут давать различные абелевы категории.

Локализация и толстые подкатегории

Пусть D — треугольная категория с произвольными прямыми суммами. Локализующая подкатегория D — это строго полная треугольная подкатегория, замкнутая относительно произвольных прямых сумм. Чтобы объяснить название: если локализующая подкатегория S компактно сгенерированной треугольной категории D генерируется множеством объектов, то существует функтор локализации Бусфилда с ядром S. (То есть, для каждого объекта X в D существует точный треугольник с Y в S и LX в правой ортогональной категории.) Например, эта конструкция включает локализацию спектра по простому числу или ограничение от комплекса пучков на пространстве до открытого подмножества. Параллельное понятие более уместно для "малых" треугольных категорий: толстая подкатегория треугольной категории C — это строго полная треугольная подкатегория, замкнутая относительно прямых слагаемых. (Если C идемпотентно полна, то подкатегория является толстой тогда и только тогда, когда она также идемпотентно полна.) Локализующая подкатегория является толстой. Таким образом, если S — локализующая подкатегория треугольной категории D, то пересечение S с подкатегорией компактных объектов является толстой подкатегорией. Например, Девинатц–Хопкинс–Смит описали все толстые подкатегории треугольной категории конечных спектров в терминах теории Моравы K. Локализирующие подкатегории всей стабильной гомотопической категории не классифицированы.