Введение

Приблизительная модель, используемая для описания перехода между проводящими и изолирующими системами. Модель Хаббарда – это приближенная модель, применяемая для описания перехода между проводящими и изолирующими системами. Она особенно полезна в физике твердого тела. Модель названа в честь Джона Хаббарда. Модель Хаббарда постулирует, что каждый электрон испытывает конкурирующие силы: одна способствует его туннелированию к соседним атомам, а другая – отталкивает от них. Модель Хаббарда добавляет к модели сильных связей взаимодействия между электронами на коротких расстояниях, которая учитывает только кинетическую энергию (член, описывающий "перескоки") и взаимодействие с атомами кристаллической решетки ( "атомный" потенциал). Когда взаимодействие между электронами становится сильным, поведение модели Хаббарда может качественно отличаться от поведения модели сильных связей. Например, модель Хаббарда корректно предсказывает существование изоляторов Мотта – материалов, которые являются изоляторами из-за сильного кулоновского отталкивания между электронами, несмотря на соответствие обычным критериям для проводников, таким как нечетное число электронов на элементарную ячейку.

История

Модель была первоначально предложена в 1963 году для описания электронов в твердых телах. Хаббард, Мартин Гутцвиллер и Джунжиро Канамори независимо предложили её каждый. С тех пор она применяется для изучения высокотемпературной сверхпроводимости, квантового магнетизма и волн плотности заряда.

Теория узких энергетических полос

Модель Хаббарда основана на приближении сильной связи из физики твердого тела, которое описывает частицы, движущиеся в периодическом потенциале, обычно называемом решеткой. Для реальных материалов каждое место решетки может соответствовать ионному ядру, а частицы – валентным электронам этих ионов. В приближении сильной связи гамильтониан записывается в терминах состояний Ванье, являющихся локализованными состояниями, центрированными на каждом узле решетки. Состояния Ванье на соседних узлах решетки связаны между собой, что позволяет частицам на одном узле "перескакивать" на другой. Математически, величина этой связи задается "интегралом перескока" или "интегралом переноса" между ближайшими узлами. Система находится в пределе сильной связи, когда величина интегралов перескока быстро убывает с расстоянием. Эта связь позволяет состояниям, связанным с каждым узлом решетки, гибридизоваться, а собственные состояния такой кристаллической системы являются функциями Блоха, при этом энергетические уровни разделены на отдельные энергетические зоны. Ширина зон зависит от величины интеграла перескока. Модель Хаббарда вводит контактное взаимодействие между частицами с противоположными спинами на каждом узле решетки. При использовании модели Хаббарда для описания электронных систем, эти взаимодействия, как правило, отталкивающие, обусловленные экранированным кулоновским взаимодействием. Однако, также часто рассматриваются и притягивающие взаимодействия. Физика модели Хаббарда определяется конкуренцией между величиной интеграла перескока, характеризующего кинетическую энергию системы, и величиной члена взаимодействия. Таким образом, модель Хаббарда может объяснить переход от металла к изолятору в определенных взаимодействующих системах. Например, она использовалась для описания оксидов металлов при нагревании, когда соответствующее увеличение расстояния между ближайшими соседями уменьшает интеграл перескока до точки, где потенциал на узле становится доминирующим. Аналогично, модель Хаббарда может объяснить переход от проводника к изолятору в системах, таких как редкоземельные пирохлоры, при увеличении атомного номера редкоземельного металла, поскольку параметр решетки увеличивается (или угол между атомами также может изменяться) с увеличением атомного номера редкоземельного элемента, тем самым изменяя относительную важность интеграла перескока по сравнению с отталкиванием на узле.

Пример: одномерная цепь атомов водорода

Атом водорода имеет один электрон в так называемой s-орбитали, который может иметь спин, направленный вверх или вниз. Эта орбиталь может быть занята максимум двумя электронами, один со спином вверх и один со спином вниз (см. принцип исключения Паули). Согласно теории зон, для одномерной цепочки атомов водорода 1s-орбиталь формирует непрерывную зону, которая будет ровно наполовину заполнена. Таким образом, в соответствии с общепринятой теорией зон, предсказывается, что одномерная цепочка атомов водорода является проводником. Эта одномерная цепочка – единственная конфигурация, достаточно простая для прямого решения.

Числовая обработка

Тот факт, что модель Хаббарда не имеет аналитического решения в произвольных размерностях, стимулировал интенсивные исследования численных методов для этих сильнокоррелированных электронных систем. Одной из главных целей этих исследований является определение фазовой диаграммы модели при низких температурах, особенно в двух измерениях. Приближенное численное решение модели Хаббарда для конечных систем возможно с использованием различных методов. Один из таких методов, алгоритм Ланчоса, позволяет вычислять статические и динамические свойства системы. Расчеты основного состояния с использованием этого метода требуют хранения трех векторов, размерность которых равна числу состояний. Число состояний растет экспоненциально с увеличением размера системы, что ограничивает количество узлов в решетке примерно до 20 при использовании оборудования XXI века. Существуют два статистических метода – метод проектора и метод Монте-Карло с конечной температурой вспомогательного поля – которые позволяют получить определенные свойства системы. При низких температурах возникают проблемы со сходимостью, приводящие к экспоненциальному росту вычислительных затрат при понижении температуры из-за так называемой проблемы знака фермиона. Модель Хаббарда может быть исследована в рамках теории динамического среднего поля (DMFT). Эта схема преобразует гамильтониан Хаббарда к модели примеси на одном узле, преобразование, которое формально точно только в бесконечномерном пространстве, а в конечномерном пространстве соответствует точному учету только чисто локальных корреляций. DMFT позволяет вычислить локальную функцию Грина модели Хаббарда для заданного и заданной температуры. В рамках DMFT можно вычислить эволюцию спектральной функции и наблюдать появление верхних и нижних хаббардовских полос при увеличении корреляций.

Симулятор

Стойки из разнородных двумерных дихалькогенидов переходных металлов (TMD) использовались для моделирования геометрий в более чем одном измерении. Дизеленид вольфрама и сульфид вольфрама были сложены вместе. Это привело к образованию моира-суперрешетки, состоящей из гексагональных суперячеек (единиц повторения, определяемых соотношением между двумя материалами). Каждая суперячейка ведет себя как единичный атом. Расстояние между суперячейками примерно в 100 раз превышает расстояние между атомами внутри них. Это большее расстояние значительно уменьшает туннелирование электронов между суперячейками. Их можно использовать для формирования кристаллов Вигнера. К устройству можно подсоединить электроды для регулирования электрического поля. Электрическое поле контролирует количество электронов, заполняющих каждую суперячейку. Количество электронов на суперячейку фактически определяет, какой "атом" имитирует решетка. Одна суперячейка с одним электроном ведет себя как водород, с двумя – как гелий и так далее. По состоянию на 2022 год можно было моделировать суперячейки с количеством электронов до восьми (кислород). Один из результатов моделирования показал, что различие между металлом и изолятором является непрерывной функцией напряженности электрического поля. Режим "обратной" укладки позволяет создать черновский изолятор посредством аномального квантового эффекта Холла (при этом края устройства действуют как проводники, а его внутренняя часть – как изолятор). Устройство функционировало при температуре 5 Кельвинов, что значительно выше температуры, при которой эффект был впервые обнаружен.