Введение

Математический термин "извращённые пучки" относится к объектам определенных абелевых категорий, связанных с топологическими пространствами, которые могут быть вещественными или комплексными многообразиями, или более общими топологически стратифицированными пространствами, возможно, сингулярными. Концепция была введена в работе Жозефа Бернштейна, Александра Бейлинсона и Пьера Делиня (1982) как следствие соответствия Римана — Гильберта, которое устанавливает связь между производными категориями регулярных голономических D-модулей и конструктивными пучками. Извращённые пучки — это объекты в последнем, которые соответствуют отдельным D-модулям (а не более общим комплексам); извращённый пучок обычно представляется комплексом пучков. Понятие извращённых пучков уже подразумевалось в работе Кашивары 70-х годов о конструктивности решений голономических D-модулей. Ключевым наблюдением было то, что гомология пересечений Марка Горески и Роберта Макферсона может быть описана с помощью пучковых комплексов, которые фактически являются извращёнными пучками. С самого начала было ясно, что извращённые пучки являются фундаментальными математическими объектами на стыке алгебраической геометрии, топологии, анализа и дифференциальных уравнений. Они также играют важную роль в теории чисел, алгебре и теории представлений.

Предварительные замечания

Название "извращённый пучок" происходит от вольного перевода французского "faisceaux pervers". Обоснование заключается в том, что извращённые пучки — это комплексы пучков, которые имеют несколько общих черт с пучками: они образуют абелеву категорию, имеют когомологии, и для построения одного из них достаточно построить его локально во всех точках. Прилагательное "извращённый" берёт начало в теории гомологии пересечений, и его происхождение было объяснено определением Бейлинсона — Бернштейна — Делиня извращённого пучка, которое опирается на аппарат треугольных категорий в гомологической алгебре и имеет ярко выраженный алгебраический характер. Однако основные примеры, возникающие из теории Горески — Макферсона, носят топологический характер, поскольку простыми объектами в категории извращённых пучков являются комплексы когомологий пересечений. Это побудило Макферсона переформулировать всю теорию в геометрических терминах, основываясь на теории Морса. Для многих приложений в теории представлений извращённые пучки можно рассматривать как "чёрный ящик" — категорию с определёнными формальными свойствами.

Простой пример

Пусть X — диск вокруг начала координат в стратифицированном пространстве, так что начало координат является единственным сингулярным слоем. Тогда категория перверсивных расслоений на X эквивалентна категории диаграмм векторных пространств, где и обратимы. В более общем смысле, для описания перверсивных расслоений можно использовать ориентированные графы.

Свойства

Категория перверсных пучков является абелевой подкатегорией (неабелевой) производной категории пучков, равной ядру подходящей t-структуры, и инвариантна относительно дуальности Вердье. Ограниченная производная категория перверсных l-адических пучков на схеме X эквивалентна производной категории конструктивных пучков, и аналогично для пучков на комплексно-аналитическом пространстве, ассоциированном со схемой X/C.

Приложения

Перверсные снопы являются фундаментальным инструментом для геометрии сингулярных пространств. Поэтому они применяются в различных областях математики. В соответствии Римана-Хилберта перверсные снопы соответствуют регулярным голономическим D-модулям. Это применение устанавливает понятие перверсного снопа как возникающего "в природе". Теорема о разложении, являющаяся далеко идущим обобщением разложения по сложной теореме Лефшеца, требует использования перверсных снопов. Модули Ходжа, грубо говоря, представляют собой уточнение перверсных снопов в рамках теории Ходжа. Геометрическая эквивалентность Сатаке отождествляет эквивариантные перверсные снопы на аффинном грассманиане с представлениями дуальной группы Лэнгленда редуктивной группы G. Доказательство гипотезы Вейля с использованием перверсных снопов приведено в .

Теория струн

Бесмассовые поля в суперструнных компактификациях были отождествлены с классами когомологий на целевом пространстве (т. е. четырехмерном пространстве Минковского с шестимерным многообразием Калаби-Яу (CY)). Определение содержания материи и взаимодействий требует детального анализа (ко)гомологии этих пространств: почти все безмассовые поля в эффективной физической модели представлены определенными элементами (ко)гомологии. Однако, возникает затруднение, когда целевое пространство является сингулярным. Сингулярное целевое пространство означает, что сингулярной является только часть, соответствующая многообразию CY, поскольку фактор пространства Минковского гладкий. Такое сингулярное многообразие CY называется конифолдом, поскольку это многообразие CY, допускающее конические сингулярности. Эндрю Стромингер (A. Strominger, 1995) отметил, что конифолды соответствуют безмассовым черным дырам. Конифолды – важные объекты в теории струн: Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 своей книги «Элегантная Вселенная», включая тот факт, что пространство может разрываться вблизи конуса, и его топология может изменяться. Эти сингулярные целевые пространства, то есть конифолды, соответствуют некоторым умеренным дегенерациям алгебраических многообразий, которые встречаются в широком классе суперсимметричных теорий, включая теорию суперструн (E. Witten, 1982). По сути, различные теории когомологий на сингулярных целевых пространствах дают разные результаты, что затрудняет определение того, какую теорию предпочитает физика. Несколько важных характеристик когомологии, соответствующих безмассовым полям, основаны на общих свойствах теорий поля, в частности, на (2,2) суперсимметричных двухмерных теориях поля на мировой поверхности. Эти свойства, известные как «пакет Кэлера» (T. Hubsch, 1992), должны выполняться как для сингулярных, так и для гладких целевых пространств. Пол Грин и Тристан Хабш (P. Green & T. Hubsch, 1988) установили, что переход между сингулярными целевыми пространствами CY требует движения либо через малое разрешение, либо через деформацию сингулярности (T. Hubsch, 1992) и назвали это «переходом конифолда». Тристан Хабш (T. Hubsch, 1997) предположил, какая теория когомологий должна быть для сингулярных целевых пространств. Тристан Хабш и Абдул Рахман (T. Hubsch and A. Rahman, 2005) работали над решением гипотезы Хабша, анализируя не-поперечный случай калибровочной линейной сигма-модели Виттена (E. Witten, 1993), которая индуцирует стратификацию этих алгебраических многообразий (называемых многообразием основного состояния) в случае изолированных конических сингулярностей. При определенных условиях было установлено, что это многообразие основного состояния является конифолдом (P. Green & T. Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) с изолированными коническими сингулярностями над определенным основанием с 1-мерной экзокривой (называемой экзо-слоями), прикрепленной к каждой сингулярной точке. Т. Хабш и А. Рахман определили (ко)гомологию этого многообразия основного состояния во всех измерениях, обнаружили ее совместимость с зеркальной симметрией и теорией струн, но обнаружили препятствие в среднем измерении (T. Hubsch and A. Rahman, 2005). Это препятствие потребовало пересмотра гипотезы Хабша о «струнной сингулярной когомологии» (T. Hubsch, 1997). Зимой 2002 года Т. Хабш и А. Рахман встретились с Р. М. Горески, чтобы обсудить это препятствие, и в ходе дискуссий между Р. М. Горески и Р. Макферсоном Р. Макферсон заметил, что существует перверсивный пучок, который может иметь когомологию, удовлетворяющую гипотезе Хабша и устраняющую препятствие. Р. М. Горески и Т. Хабш консультировали диссертацию А. Рахмана на тему построения самодвойственного перверсивного пучка (A. Rahman, 2009) с использованием зигзагообразной конструкции Макферсона-Вилонена (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). Этот перверсивный пучок доказал гипотезу Хюбша для изолированных конических сингулярностей, удовлетворил двойственности Пуанкаре и соответствовал некоторым свойствам «пакета Кэлера». Удовлетворение всем свойствам «пакета Кэлера» этим перверсивным пучком для слоев более высокой коразмерности остается открытой проблемой. Маркус Банагл (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) рассмотрел гипотезу Хабша через пространства пересечений для слоев более высокой коразмерности, вдохновленные работами Хабша (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green and T. Hubsch, 1988) и исходным анзацем А. Рахмана (A. Rahman, 2009) для изолированных сингулярностей.