Топосы: Исторический обзор и математические основы.

Введение

В этой статье приводится общий обзор математической идеи топоса. Это область теории категорий, известная своей сложностью и абстрактностью. Уровень абстракции нельзя снизить ниже определенного предела, но можно предоставить контекст, частично прослеживая историческое развитие этой области, а также объясняя различные подходы к теории категорий.

В школе Гротендик

В течение последней части 1950-х годов основы алгебраической геометрии переписывались, и именно здесь следует искать истоки концепции топоса. В то время гипотезы Вейля служили мощным стимулом для исследований. Как мы теперь знаем, путь к их доказательству и другим достижениям лежал через построение когомологий эталей. Оглядываясь назад, можно сказать, что алгебраическая геометрия долгое время боролась с двумя проблемами. Первая касалась её точек: ещё со времён проективной геометрии было ясно, что недостаток "достаточного" количества точек на алгебраическом многообразии являлся препятствием для построения хорошей геометрической теории (в некотором смысле подобной компактному многообразию). Существовала также сложность, ставшая очевидной с развитием топологии в первой половине двадцатого века, заключавшаяся в том, что топология алгебраических многообразий обладала "слишком малым" количеством открытых множеств. К 1950 году вопрос о точках был близок к разрешению; Александр Гротендик сделал решительный шаг (используя лемму Йонеды), который решил эту проблему – хотя и ценой того, что каждое многообразие или, в более общем случае, схема должны были стать функтором. Однако добавить открытые множества не удалось. Путь был другим. Определение топоса впервые появилось косвенно, примерно в 1960 году. В тот же период рассматривались общие проблемы так называемого "спуска" в алгебраической геометрии, одновременно с обобщением фундаментальной группы на алгебраическую геометрию (в виде проконечной группы). В свете более поздних работ (около 1970 года) "спуск" является частью теории комонад; здесь мы видим один из способов, которым гротендиковская школа расходится в своём подходе с "чистыми" теоретиками категорий – тема, важная для понимания того, как концепция топоса была впоследствии разработана. Возможно, существовал более прямой путь: концепция абелевой категории была введена Гротендиком в его основополагающей работе по гомологической алгебре для объединения категорий пучков абелевых групп и модулей. Абелева категория должна быть замкнута относительно определённых категорно-теоретических операций. Используя такое определение, можно полностью сосредоточиться на структуре, не упоминая природу задействованных объектов. Этот тип определения можно проследить, в одной линии, до концепции решётки 1930-х годов. Примерно в 1957 году можно было задаться вопросом о чисто категорно-теоретической характеристике категорий пучков множеств, поскольку случай пучков абелевых групп был охвачен работой Гротендика (статья в Tôhoku Mathematical Journal). Такое определение топоса было в конечном итоге дано пять лет спустя, около 1962 года, Гротендиком и Вердье (см. семинар Николя Бурбаки Вердье "Анализ Situs"). Характеризация была дана через категории "с достаточным количеством колимитов" и применена к тому, что теперь называется топосом Гротендика. Теория была завершена установлением того факта, что топос Гротендика является категорией пучков, где теперь слово "пучок" приобрело расширенное значение, поскольку оно включало топологию Гротендика. Идея топологии Гротендика (также известной как сайт) была охарактеризована Джоном Тейтом как смелая игра слов, основанная на двух значениях термина "поверхность Римана". Технически это позволило построить искомые когомологии эталей (а также другие усовершенствованные теории, такие как плоская когомология и кристаллическая когомология). К этому моменту – около 1964 года – развитие, вызванное алгебраической геометрией, в значительной степени завершилось. Обсуждение "открытых множеств" фактически завершилось выводом о том, что многообразия обладают достаточно богатым сайтом открытых множеств в неразветвлённых накрытиях своих (обычных) открытых множеств Зарисского.

During the latter part of the 1950s, the foundations of algebraic geometry were being rewritten; and it is here that the origins of the topos concept are to be found. At that time the Weil conjectures were an outstanding motivation to research. As we now know, the route towards their proof, and other advances, lay in the construction of étale cohomology. With the benefit of hindsight, it can be said that algebraic geometry had been wrestling with two problems for a long time. The first was to do with its points: back in the days of projective geometry it was clear that the absence of 'enough' points on an algebraic variety was a barrier to having a good geometric theory (in which it was somewhat like a compact manifold). There was also the difficulty, that was clear as soon as topology took form in the first half of the twentieth century, that the topology of algebraic varieties had 'too few' open sets. The question of points was close to resolution by 1950; Alexander Grothendieck took a sweeping step (invoking the Yoneda lemma) that disposed of it—naturally at a cost, that every variety or more general scheme should become a functor. It wasn't possible to add open sets, though. The way forward was otherwise. The topos definition first appeared somewhat obliquely, in or about 1960. General problems of so called 'descent' in algebraic geometry were considered, at the same period when the fundamental group was generalised to the algebraic geometry setting (as a pro finite group). In the light of later work (c. 1970), 'descent' is part of the theory of comonads; here we can see one way in which the Grothendieck school bifurcates in its approach from the 'pure' category theorists, a theme that is important for the understanding of how the topos concept was later treated. There was perhaps a more direct route available: the abelian category concept had been introduced by Grothendieck in his foundational work on homological algebra, to unify categories of sheaves of abelian groups, and of modules. An abelian category is supposed to be closed under certain category theoretic operations—by using this kind of definition one can focus entirely on structure, saying nothing at all about the nature of the objects involved. This type of definition can be traced back, in one line, to the lattice concept of the 1930s. It was a possible question to ask, around 1957, for a purely category theoretic characterisation of categories of sheaves of sets, the case of sheaves of abelian groups having been subsumed by Grothendieck's work (the Tôhoku paper). Such a definition of a topos was eventually given five years later, around 1962, by Grothendieck and Verdier (see Verdier's Nicolas Bourbaki seminar Analysis Situs). The characterisation was by means of categories 'with enough colimits', and applied to what is now called a Grothendieck topos. The theory was rounded out by establishing that a Grothendieck topos was a category of sheaves, where now the word sheaf had acquired an extended meaning, since it involved a Grothendieck topology. The idea of a Grothendieck topology (also known as a site) has been characterised by John Tate as a bold pun on the two senses of Riemann surface. Technically speaking it enabled the construction of the sought after étale cohomology (as well as other refined theories such as flat cohomology and crystalline cohomology). At this point—about 1964—the developments powered by algebraic geometry had largely run their course. The 'open set' discussion had effectively been summed up in the conclusion that varieties had a rich enough site of open sets in unramified covers of their (ordinary) Zariski open sets.

Положение теории топоса

Была некоторая ирония в том, что при продвижении долгосрочной программы Дэвида Гильберта нашлось естественное место для центральных идей интуиционистской логики: Гильберт терпеть не мог школу Л. Э. Й. Брувера. Существование как «локальное» существование в смысле теории пучков, ныне известное как семантика Крипке — Жуаяля, хорошо согласуется с этим. С другой стороны, многолетние усилия Брувера по изучению «видов», как он называл интуиционистскую теорию вещественных чисел, по-видимому, в некотором роде поглощены и лишены статуса, выходящего за рамки исторического. В каждом топосе существует теория действительных чисел, и поэтому нет единой господствующей интуиционистской теории. Более поздние работы по этальной когомологии показали, что полная, общая теория топосов, возможно, не требуется. С другой стороны, используются и другие сайты, а топос Гротендика занял свое место в гомологической алгебре. Программа Лоувера заключалась в формулировании логики высшего порядка на языке теории категорий. То, что это можно сделать корректно, показано в книге Иоахима Ламбека и П. Дж. Скотта. В результате получается, по сути, интуиционистская (т. е. конструктивная) логика, содержание которой проясняется существованием свободного топоса. Это теория множеств в широком смысле, но также и нечто, относящееся к области чистой синтаксики. Структура его классификатора субобъектов соответствует структуре алгебры Хейтинга. Чтобы получить более классическую теорию множеств, можно рассмотреть топосы, в которых это, кроме того, булева алгебра, или, специализируясь еще дальше, топосы с всего двумя значениями истинности. В этой книге речь идет о конструктивной математике, но на самом деле ее можно рассматривать как основы компьютерных наук (что не упоминается). Если кто-то хочет обсудить операции теории множеств, такие как формирование образа (области значений) функции, то топос гарантированно сможет выразить это полностью конструктивно. Это также привело к более доступному ответвлению — бесструктурной топологии, где понятие локали выделяет некоторые идеи, полученные при рассмотрении топосов как значительного развития топологического пространства. Лозунг таков: «точки приходят позже» — это возвращает нас к обсуждению на этой странице. Эта точка зрения изложена в книге Питера Джонстоуна «Каменные пространства», которую один из лидеров в области компьютерных наук назвал «трактатом об экстенсиональности». Экстенсиональность в математике рассматривается как окружающая среда — это не то, в отношении чего математики действительно ожидают иметь теорию. Возможно, поэтому теория топосов рассматривается как нечто странное; она выходит за рамки того, что позволяет традиционный геометрический способ мышления. Потребности тщательно интенсиональных теорий, таких как нетипизированное лямбда-исчисление, были удовлетворены в денотационной семантике. Теория топосов долгое время представлялась как возможная «мастер-теория» в этой области.

There was some irony that in the pushing through of David Hilbert's long range programme a natural home for intuitionistic logic's central ideas was found: Hilbert had detested the school of L. E. J. Brouwer. Existence as 'local' existence in the sheaf theoretic sense, now going by the name of Kripke–Joyal semantics, is a good match. On the other hand Brouwer's long efforts on 'species', as he called the intuitionistic theory of reals, are presumably in some way subsumed and deprived of status beyond the historical. There is a theory of the real numbers in each topos, and so no one master intuitionist theory. The later work on étale cohomology has tended to suggest that the full, general topos theory isn't required. On the other hand, other sites are used, and the Grothendieck topos has taken its place within homological algebra. The Lawvere programme was to write higher order logic in terms of category theory. That this can be done cleanly is shown by the book treatment by Joachim Lambek and P. J. Scott. What results is essentially an intuitionistic (i. e. constructive logic) theory, its content being clarified by the existence of a free topos. That is a set theory, in a broad sense, but also something belonging to the realm of pure syntax. The structure on its sub object classifier is that of a Heyting algebra. To get a more classical set theory one can look at toposes in which it is moreover a Boolean algebra, or specialising even further, at those with just two truth values. In that book, the talk is about constructive mathematics; but in fact this can be read as foundational computer science (which is not mentioned). If one wants to discuss set theoretic operations, such as the formation of the image (range) of a function, a topos is guaranteed to be able to express this, entirely constructively. It also produced a more accessible spin off in pointless topology, where the locale concept isolates some insights found by treating topos as a significant development of topological space. The slogan is 'points come later': this brings discussion full circle on this page. The point of view is written up in Peter Johnstone's Stone Spaces, which has been called by a leader in the field of computer science 'a treatise on extensionality'. The extensional is treated in mathematics as ambient—it is not something about which mathematicians really expect to have a theory. Perhaps this is why topos theory has been treated as an oddity; it goes beyond what the traditionally geometric way of thinking allows. The needs of thoroughly intensional theories such as untyped lambda calculus have been met in denotational semantics. Topos theory has long looked like a possible 'master theory' in this area.

Резюме

Понятие топоса возникло в алгебраической геометрии как результат объединения понятий пучка и замыкания посредством категорических операций. Оно играет определенную роль в теориях когомологий. Наглядным примером его применения является когомология эталей. Последующие разработки, связанные с логикой, носят более междисциплинарный характер. Они включают примеры, использующие теорию гомотопий (классифицирующие топосы), и устанавливают связи между теорией категорий и математической логикой, а также (на уровне общих принципов организации) между теорией категорий и теоретической информатикой, основанной на теории типов. Принимая во внимание общепринятую точку зрения Сондерса Мак-Лейна о повсеместности концепций, это придает им значимость. Пионерские работы по использованию топосов в качестве объединяющих связей в математике были выполнены Оливией Карамэлло в ее книге 2017 года.