Исключающее ИЛИ: логический оператор разности

Введение

Истинно, когда один, но не оба входных значения истинны. Исключающее ИЛИ, исключительная дизъюнкция, исключающая альтернация, логическая неравнозначность или логическое неравенство — это логический оператор, отрицанием которого является логическая бикондциональность. Для двух входных значений XOR истинно тогда и только тогда, когда входные значения различны (одно истинно, другое ложно). Для нескольких входных значений XOR истинно тогда и только тогда, когда количество истинных входных значений нечётно. Он получил название "исключающее ИЛИ", поскольку значение "ИЛИ" неоднозначно, когда оба операнда истинны. XOR исключает этот случай. Некоторые неформальные способы описания XOR: "одно или другое, но не оба", "либо одно, либо другое" и "А или В, но не А и В". Он обозначается префиксным оператором и инфиксными операторами XOR (XOR, /ɛ//k//s// /'/ɔ://r/, ,/ɛ//k//s// /'/ɔ:/, /'//k//s//ɔ://r/ или /'//k//s//ɔ:/), EOR, EXOR, ⊕, ⊻, ⩛, ⨂ и ⨿.

Исключительно или на естественном языке

Дисъюнкция часто понимается исключительно в естественных языках. В английском языке слово "or" часто понимается исключительно, особенно когда используется с частицей "either". Приведенный ниже пример в английском языке обычно понимается в разговоре как подразумевающий, что Мэри не является одновременно певицей и поэтессой. 1. Мэри – певица или поэтесса. Однако, дизъюнкция также может быть понята инклюзивно, даже в сочетании с "either". Например, первый пример ниже показывает, что "either" может быть уместно использовано в сочетании с прямым утверждением, что оба дизъюнкта истинны. Второй пример показывает, что исключительный вывод исчезает в контекстах, имеющих понижающую направленность. Если бы в этом примере дизъюнкция понималась как исключительная, это оставляло бы открытой возможность того, что некоторые люди ели и рис, и бобы. Хотя Буль использовал преимущественно для классов, он также рассматривал случай, когда являются пропозициями в , а в этом случае является связкой. Более того, Буль использовал её исключительно. Хотя такое использование не демонстрирует взаимосвязь между инклюзивной дизъюнкцией (для которой в настоящее время почти повсеместно используется) и исключительной дизъюнкцией, а также может приводить к путанице с другими её применениями, некоторые классические и современные учебники всё ещё сохраняют такое использование. была использована Кристин Лэдд Франклин в 1883 году. Строго говоря, Лэдд использовала для выражения "не является" или "нет ", то есть использовала как исключения, в то время как неявно имеет значение исключительной дизъюнкции, поскольку статья называется "Об алгебре логики". , обозначающий отрицание эквивалентности, был использован Эрнстом Шрёдером в 1890 году, хотя использование как эквивалентности можно отнести к Джорджу Булю в 1847 году. Следует отметить, что латинское слово "aut" означает "исключительное или", а "vel" – "включительное или", и что Пеано использовал как инклюзивную дизъюнкцию. был использован Израилем Соломоновичем Градштейном (Израиль Соломонович Градштейн) в 1936 году. был использован Клодом Шенноном в 1938 году. Шеннон заимствовал символ для исключительной дизъюнкции у Эдварда Вермиля Хантингтона в 1904 году. Хантингтон заимствовал символ у Готфрида Вильгельма Лейбница в 1890 году (точная дата оригинала неизвестна, но почти наверняка она написана после 1685 года, а 1890 год – год публикации). В то время как и Хантингтон в 1904 году, и Лейбниц в 1890 году использовали символ как алгебраическую операцию. Кроме того, Хантингтон в 1904 году использовал символ также как инклюзивную дизъюнкцию (логическую сумму), а в 1933 году использовал как инклюзивную дизъюнкцию. , также обозначающий отрицание эквивалентности, был использован Алонзо Черчем в 1944 году. (в качестве префиксного оператора, ) был использован Юзефом Марией Бохенским в 1949 году. Можно ошибочно полагать, что именно Ян Лукашевич первым использовал для исключительной дизъюнкции (похоже, что эта ошибка широко распространена), в то время как ни в 1929 году, ни в других работах Лукашевич такого использования не делал. Фактически, в 1949 году Бохенский ввёл систему польской нотации, которая определяет все 16 бинарных связок классической логики, являющуюся совместимым расширением нотации Лукашевича 1929 года, и в которой впервые появилась для исключительной дизъюнкции. Использование Бохенским как исключительной дизъюнкции не связано с польским "alternatywa rozłączna" ("исключительное или") и является случайностью, о чём можно узнать из таблицы на странице 16 книги 1949 года. ^, символ каретки, используется в нескольких языках программирования для обозначения побитового оператора исключающего ИЛИ, начиная с C, а также включая C++, C#, D, Java, Perl, Ruby, PHP и Python. Симметрическая разность двух множеств и , которую можно интерпретировать как их поэлементное исключающее ИЛИ, по-разному обозначалась как , , или .

Disjunction is often understood exclusively in natural languages. In English, the disjunctive word "or" is often understood exclusively, particularly when used with the particle "either". The English example below would normally be understood in conversation as implying that Mary is not both a singer and a poet. 1. Mary is a singer or a poet. However, disjunction can also be understood inclusively, even in combination with "either". For instance, the first example below shows that "either" can be felicitously used in combination with an outright statement that both disjuncts are true. The second example shows that the exclusive inference vanishes away under downward entailing contexts. If disjunction were understood as exclusive in this example, it would leave open the possibility that some people ate both rice and beans. Although Boole used mainly on classes, he also considered the case that are propositions in , and at the time is a connective. Furthermore, Boole used it exclusively. Although such use does not show the relationship between inclusive disjunction (for which is almost fixedly used nowadays) and exclusive disjunction, and may also bring about confusions with its other uses, some classical and modern textbooks still keep such use. was used by Christine Ladd Franklin in 1883. Strictly speaking, Ladd used to express " is not " or "No is ", i. e., used as exclusions, while implicitly has the meaning of exclusive disjunction since the article is titled as "On the Algebra of Logic". , denoting the negation of equivalence, was used by Ernst Schröder in 1890, Although the usage of as equivalence could be dated back to George Boole in 1847, Note that the Latin word "aut" means "exclusive or" and "vel" means "inclusive or", and that Peano use as inclusive disjunction. was used by Izrail Solomonovich Gradshtein (Израиль Соломонович Градштейн) in 1936.
was used by Claude Shannon in 1938. Shannon borrowed the symbol as exclusive disjunction from Edward Vermilye Huntington in 1904. Huntington borrowed the symbol from Gottfried Wilhelm Leibniz in 1890 (the original date is not definitely known, but almost certainly it is written after 1685; and 1890 is the publishing time). While both Huntington in 1904 and Leibniz in 1890 used the symbol as an algebraic operation. Furthermore, Huntington in 1904 used the symbol as inclusive disjunction (logical sum) too, and in 1933 used as inclusive disjunction. , also denoting the negation of equivalence, was used by Alonzo Church in 1944. (as a prefix operator, ) was used by Józef Maria Bocheński in 1949. may mistake that it is Jan Łukasiewicz who is the first to use for exclusive disjunction (it seems that the mistake spreads widely), while neither in 1929 nor in other works did Łukasiewicz make such use. In fact, in 1949 Bocheński introduced a system of Polish notation that names all 16 binary connectives of classical logic which is a compatible extension of the notation of Łukasiewicz in 1929, and in which for exclusive disjunction appeared at the first time. Bocheński's usage of as exclusive disjunction has no relationship with the Polish "alternatywa rozłączna" of "exclusive or" and is an accident for which see the table on page 16 of the book in 1949. ^, the caret, has been used in several programming languages to denote the bitwise exclusive or operator, beginning with C and also including C++, C#, D, Java, Perl, Ruby, PHP and Python. The symmetric difference of two sets and , which may be interpreted as their elementwise exclusive or, has variously been denoted as , , or .

Кодировки

Он также называется "стрелка влево и вправо, перечеркнутая" (\nleftrightarrow) в LaTeX-основанном markdown. Помимо ASCII-кодов, оператор кодируется в U+21AE и U+21AF, оба в блоке математических операторов.