Введение
Набор с операциями, подчиняющимися заданным аксиомам.
В математике алгебраическая структура состоит из непустого множества A (называемого базовым множеством, носителем или областью определения), набора операций над A (как правило, бинарных операций, таких как сложение и умножение) и конечного набора тождеств, известных как аксиомы, которым эти операции должны удовлетворять. Алгебраическая структура может быть построена на основе других алгебраических структур с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем, и операцию, называемую скалярным умножением, между элементами поля (называемыми скалярами) и элементами векторного пространства (называемыми векторами). Абстрактная алгебра – это общепринятое название изучения алгебраических структур. Общая теория алгебраических структур была формализована в универсальной алгебре. Теория категорий – это еще одна формализация, которая включает в себя и другие математические структуры, и функции между структурами одного типа (гомоморфизмы). В универсальной алгебре алгебраическая структура называется алгеброй; этот термин может быть неоднозначным, поскольку в других контекстах алгеброй называется алгебраическая структура, являющаяся векторным пространством над полем или модулем над коммутативным кольцом. Совокупность всех структур данного типа (с одинаковыми операциями и законами) называется разновидностью в универсальной алгебре; этот термин также используется в совершенно ином смысле в алгебраической геометрии как сокращение от алгебраического многообразия. В теории категорий совокупность всех структур данного типа и гомоморфизмов между ними образуют конкретную категорию.
Введение
Сложение и умножение являются типичными примерами операций, которые объединяют два элемента множества для получения третьего элемента того же множества. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + (b + c) = (a + b) + c и a(bc) = (ab)c являются законами ассоциативности, а a + b = b + a и ab = ba – законами коммутативности. Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем законам обычной арифметики. Например, возможные перемещения объекта в трехмерном пространстве можно комбинировать, выполняя сначала одно перемещение объекта, а затем другое – из его нового положения. Такие перемещения, формально называемые жесткими преобразованиями, подчиняются закону ассоциативности, но не удовлетворяют закону коммутативности. Множества с одной или несколькими операциями, подчиняющимися определенным законам, называются алгебраическими структурами. Когда новая задача включает те же законы, что и данная алгебраическая структура, все результаты, которые были доказаны, используя только законы этой структуры, могут быть непосредственно применены к новой задаче. В общем случае алгебраические структуры могут включать произвольное множество операций, в том числе операции, объединяющие более двух элементов (операции с большей арностью), и операции, принимающие только один аргумент (унарные операции) или даже ноль аргументов (нулярные операции). Приведенные ниже примеры отнюдь не исчерпывают все возможные структуры, но включают наиболее распространенные, изучаемые в курсах бакалавриата.
Равные аксиомы
Аксиома алгебраической структуры часто имеет вид тождества, то есть уравнения, в котором обе части знака равенства представляют собой выражения, включающие операции алгебраической структуры и переменные. Если в этом тождестве переменные заменить произвольными элементами алгебраической структуры, равенство должно оставаться верным. Вот несколько распространенных примеров. Коммутативность: Операция является коммутативной, если для любых x и y из алгебраической структуры выполняется условие . Ассоциативность: Операция является ассоциативной, если для любых x, y и z из алгебраической структуры выполняется условие . Левая дистрибутивность: Операция является левой дистрибутивной относительно другой операции, если для любых x, y и z из алгебраической структуры выполняется условие (вторая операция здесь обозначается как , поскольку во многих распространенных примерах вторая операция – сложение). Правая дистрибутивность: Операция является правой дистрибутивной относительно другой операции, если для любых x, y и z из алгебраической структуры выполняется условие . Дистрибутивность: Операция является дистрибутивной относительно другой операции, если она одновременно лево- и праводистрибутивна. Если операция коммутативна, то левая и правая дистрибутивности эквивалентны дистрибутивности.