Введение
В функциональном анализе и смежных областях математики пространство Монтеля, названное в честь Пола Монтеля, — это любое топологическое векторное пространство (ТВС), в котором выполняется аналог теоремы Монтеля. В частности, пространство Монтеля — это бочкообразное топологическое векторное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно.
In functional analysis and related areas of mathematics, a Montel space, named after Paul Montel, is any topological vector space (TVS) in which an analog of Montel's theorem holds. Specifically, a Montel space is a barrelled topological vector space in which every closed and bounded subset is compact.
Определение
Топологическое векторное пространство (ТВП) обладает свойством Хайне — Бореля, если каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно. Пространство Монтеля — это барелированное топологическое векторное пространство, обладающее свойством Хайне — Бореля. Эквивалентно, это инфрабарелированное полумонтелевское пространство, где локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа называется полумонтелевским пространством или совершенным, если каждое ограниченное подмножество относительно компактно. Подмножество ТВП компактно тогда и только тогда, когда оно полно и полно ограничено. Пространство Фреше — Монтеля — это пространство Фреше, которое также является пространством Монтеля.
Свойства
Пространства Монтеля паракомпактны и нормальны. Пространства полумонтеля квазиполны и полурефлексивны, а пространства Монтеля рефлексивны. Ни одно бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. Это происходит потому, что банахово пространство не может удовлетворять свойству Хайне — Бореля: замкнутый единичный шар замкнут и ограничен, но не компактен. Пространства Монтеля Фреше являются сепарабельными и имеют борнологический сильный дуал. Метризуемое пространство Монтеля сепарабельно. Пространства Фреше — Монтеля являются выделенными пространствами.
Контрпримеры
Каждое бесконечномерное нормированное пространство является пространством в бочках, но не пространством Монтеля. В частности, каждое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. Существуют пространства Монтеля, которые не являются сепарабельными, и существуют пространства Монтеля, которые не являются полными. Существуют пространства Монтеля, содержащие замкнутые векторные подпространства, которые не являются пространствами Монтеля.