Введение
В функциональном анализе и смежных областях математики непрерывный линейный оператор или непрерывное линейное отображение — это непрерывное линейное преобразование между топологическими векторными пространствами. Оператор между двумя нормированными пространствами является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным оператором.
Ограниченный на соседстве подразумевает непрерывный подразумевает ограниченный
Линейное отображение "ограничено на окрестности" (некоторой точки) тогда и только тогда, когда оно локально ограничено в каждой точке своей области определения, и в этом случае оно обязательно непрерывно (даже если его область определения не является нормированным пространством) и, следовательно, также ограничено (поскольку непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором). Для любого линейного отображения, если оно ограничено на окрестности, то оно непрерывно, а если оно непрерывно, то оно ограничено. Обратные утверждения не верны в общем случае, но оба они верны, когда область определения линейного отображения является нормированным пространством. Примеры и дополнительные сведения приведены ниже.
Непрерывный и ограниченный, но не ограниченный по соседству
Следующий пример показывает, что линейное отображение может быть непрерывным (и, следовательно, также ограниченным), но не быть ограниченным ни в какой окрестности. В частности, он демонстрирует, что "ограниченность в окрестности" не всегда является синонимом "ограниченности". Пример: непрерывное и ограниченное линейное отображение, которое не ограничено ни в какой окрестности: если – это тождественное отображение на некотором локально выпуклом топологическом векторном пространстве, то это линейное отображение всегда непрерывно (фактически, даже изоморфизм TVS) и ограничено, но ограничено в окрестности тогда и только тогда, когда существует ограниченная окрестность начала координат в , что эквивалентно тому, что является семинормативным пространством (которое, если – хаусдорфово, то же самое, что и нормируемое пространство). Это показывает, что линейное отображение может быть непрерывным, но не ограниченным ни в какой окрестности. Действительно, этот пример показывает, что каждое локально выпуклое пространство, которое не является семинормативным, имеет линейный автоморфизм TVS, который не ограничен ни в какой окрестности какой-либо точки. Таким образом, хотя каждое линейное отображение, ограниченное в окрестности, обязательно непрерывно, обратное в общем случае не гарантировано.
Непрерывные линейные функционалы
Каждый линейный функционал в топологическом векторном пространстве (TVS) является линейным оператором, поэтому ко всем ним применимы все свойства, описанные выше для непрерывных линейных операторов. Однако, благодаря их специфической природе, о непрерывных линейных функционалах можно сказать даже больше, чем о более общих непрерывных линейных операторах.
Примеры
Каждая линейная карта, область определения которой является конечномерным топологическим векторным пространством Хаусдорфа (TVS), непрерывна. Это неверно, если конечномерное TVS не является хаусдорфовым. Каждая (постоянная) карта между TVS, тождественно равная нулю, является линейной картой, которая непрерывна, ограничена и ограничена в окрестности начала координат. В частности, каждое TVS имеет непустое непрерывное сопряженное пространство (хотя возможно, что постоянная нулевая карта является его единственным непрерывным линейным функционалом). Пусть – любое хаусдорфово TVS. Тогда каждое линейное функциональное на непрерывно тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство замкнуто. Каждое линейное функциональное на является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве.