Адаптивная сетка в численном анализе: повышение точности расчетов в сложных областях. Динамическое уточнение сетки для эффективного моделирования и оптимизации.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
использование адаптивной сетки в численном анализе
the use of adaptive meshing in numerical analysis
В численном анализе адаптивное уточнение сетки (AMR) – это метод динамической адаптации точности решения в определенных чувствительных или турбулентных областях моделирования непосредственно в процессе вычислений. При численном решении задачи, как правило, используются заранее заданные дискретные сетки, например, в декартовой системе координат, которые формируют вычислительную сетку или "сетку". Однако многие задачи в численном анализе не требуют равномерной точности по всей вычислительной области и эффективнее решаются, если области, требующие высокой точности, уточняются только в этих областях. Адаптивное уточнение сетки обеспечивает такую динамическую среду для адаптации точности численных вычислений в зависимости от требований конкретной задачи в многомерных областях, нуждающихся в высокой точности, при этом остальные области вычисляются с меньшей точностью и разрешением. Этот динамический метод адаптации точности вычислений к конкретным требованиям был разработан Маршей Бергер, Джозефом Олигером и Филиппом Колеллой, которые предложили алгоритм динамического построения сетки, известный как локальное адаптивное уточнение сетки. С тех пор AMR нашло широкое применение, в частности, при изучении задач турбулентности в гидродинамике, а также при исследовании крупномасштабных структур в астрофизике, например, в Большом космологическом моделировании.
In numerical analysis, adaptive mesh refinement (AMR) is a method of adapting the accuracy of a solution within certain sensitive or turbulent regions of simulation, dynamically and during the time the solution is being calculated. When solutions are calculated numerically, they are often limited to pre determined quantified grids as in the Cartesian plane which constitute the computational grid, or 'mesh'. Many problems in numerical analysis, however, do not require a uniform precision in the numerical grids used for graph plotting or computational simulation, and would be better suited if specific areas of graphs which needed precision could be refined in quantification only in the regions requiring the added precision. Adaptive mesh refinement provides such a dynamic programming environment for adapting the precision of the numerical computation based on the requirements of a computation problem in specific areas of multi dimensional graphs which need precision while leaving the other regions of the multi dimensional graphs at lower levels of precision and resolution. This dynamic technique of adapting computation precision to specific requirements has been accredited to Marsha Berger, Joseph Oliger, and Phillip Colella who developed an algorithm for dynamic gridding called local adaptive mesh refinement. The use of AMR has since then proved of broad use and has been used in studying turbulence problems in hydrodynamics as well as in the study of large scale structures in astrophysics as in the Bolshoi Cosmological Simulation.
Развитие адаптивной очистки сетки
В серии статей Марша Бергер, Джозеф Олигер и Филипп Колелла разработали алгоритм динамической сетки, называемый локальным адаптивным уточнением сетки. Алгоритм начинается с того, что вся вычислительная область покрыта грубо разрешенной регулярной декартовой сеткой базового уровня. По мере продвижения вычислений отдельные ячейки сетки помечаются для уточнения, используя критерий, который может быть задан пользователем (например, сохранение постоянной массы на ячейку, что приводит к более высокому разрешению в областях с большей плотностью) или основан на экстраполяции Ричардсона. Затем все помеченные ячейки уточняются, то есть на грубую сетку накладывается более мелкая сетка. После уточнения отдельные участки сетки на одном фиксированном уровне уточнения передаются решателю, который вычисляет изменение этих ячеек во времени. Наконец, реализована процедура коррекции для корректировки переноса на границах между грубой и мелкой сетками, чтобы гарантировать, что количество любой сохраняющейся величины, выходящей из одной ячейки, точно соответствовало количеству, входящей в соседнюю ячейку. Если в какой-то момент уровень уточнения в ячейке становится избыточным, сетку высокого разрешения можно удалить и заменить более грубой сеткой. Это позволяет пользователю решать задачи, которые невозможно решить на однородной сетке; например, астрофизики использовали AMR для моделирования коллапсирующего ядра гигантского молекулярного облака до эффективного разрешения 131 072 ячеек на начальный радиус облака, что соответствует разрешению 1015 ячеек на однородной сетке. Продвинутое уточнение сетки было введено с использованием функционалов. Функционалы позволяют генерировать сетки и обеспечивать адаптацию сетки. Некоторые передовые функционалы включают функционалы Уинслоу и модифицированные функционалы Ляо.
In a series of papers, Marsha Berger, Joseph Oliger, and Phillip Colella developed an algorithm for dynamic gridding called local adaptive mesh refinement. The algorithm begins with the entire computational domain covered with a coarsely resolved base level regular Cartesian grid. As the calculation progresses, individual grid cells are tagged for refinement, using a criterion that can either be user supplied (for example mass per cell remains constant, hence higher density regions are more highly resolved) or based on Richardson extrapolation. All tagged cells are then refined, meaning that a finer grid is overlaid on the coarse one. After refinement, individual grid patches on a single fixed level of refinement are passed off to an integrator which advances those cells in time. Finally, a correction procedure is implemented to correct the transfer along coarse fine grid interfaces, to ensure that the amount of any conserved quantity leaving one cell exactly balances the amount entering the bordering cell. If at some point the level of refinement in a cell is greater than required, the high resolution grid may be removed and replaced with a coarser grid. This allows the user to solve problems that are completely intractable on a uniform grid; for example, astrophysicists have used AMR to model a collapsing giant molecular cloud core down to an effective resolution of 131,072 cells per initial cloud radius, corresponding to a resolution of 1015 cells on a uniform grid. Advanced mesh refinement has been introduced via functionals. Functionals allow the ability to generate grids and provide mesh adaptation. Some advanced functionals include the Winslow and modified Liao functionals.