Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Релятивистская коррекция
Relativistic correction
В физике прецессия Томаса, названная в честь Льюэллина Томаса, является релятивистской коррекцией, применимой к спину элементарной частицы или вращению макроскопического гироскопа, и устанавливает связь между угловой скоростью спина частицы, движущейся по криволинейной орбите, и угловой скоростью орбитального движения. Для заданной инерциальной системы отсчета, если вторая система отсчета подверглась преобразованию Лоренца относительно первой, а третья – относительно второй, но не коллинеарно относительно первой, то преобразование Лоренца между первой и третьей системами включает в себя комбинированное преобразование Лоренца и вращение, известное как «вращение Вигнера» или «вращение Томаса». При ускоренном движении ускоренная система отсчета имеет инерциальную систему отсчета в каждый момент времени. Два последовательных преобразования Лоренца, разделенных малым интервалом времени (измеренным в лабораторной системе отсчета), приводят к вращению Вигнера после второго преобразования. В пределе, когда интервал времени стремится к нулю, ускоренная система отсчета будет вращаться в каждый момент времени, то есть ускоренная система отсчета вращается с угловой скоростью. Прецессию можно понять геометрически как следствие того, что пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим, и поэтому параллельный перенос вектора (угловой скорости гироскопа) вдоль окружности (его линейной скорости) приводит к изменению его направления, или алгебраически – как результат некоммутативности преобразований Лоренца. Прецессия Томаса вносит поправку во взаимодействие спин-орбита в квантовой механике, учитывающую релятивистское замедление времени между электроном и ядром атома. Прецессия Томаса является кинематическим эффектом в плоском пространстве-времени специальной теории относительности. В искривленном пространстве-времени общей теории относительности прецессия Томаса комбинируется с геометрическим эффектом, образуя прецессию де Ситтера. Хотя прецессия Томаса (чистое вращение после траектории, возвращающейся к начальной скорости) является чисто кинематическим эффектом, она возникает только при криволинейном движении и, следовательно, не может быть наблюдаема независимо от внешней силы, вызывающей это криволинейное движение, например, электромагнитного поля, гравитационного поля или механической силы, поэтому прецессия Томаса обычно сопровождается динамическими эффектами. Если система не испытывает внешнего момента силы, например, во внешних скалярных полях, ее динамика вращения определяется только прецессией Томаса. Одно дискретное вращение Томаса (в отличие от ряда бесконечно малых вращений, составляющих прецессию Томаса) возникает в ситуациях, когда присутствуют три или более инерциальных систем отсчета, находящихся в неколлинеарном движении, что можно увидеть, используя преобразования Лоренца.
In physics, the Thomas precession, named after Llewellyn Thomas, is a relativistic correction that applies to the spin of an elementary particle or the rotation of a macroscopic gyroscope and relates the angular velocity of the spin of a particle following a curvilinear orbit to the angular velocity of the orbital motion. For a given inertial frame, if a second frame is Lorentz boosted relative to it, and a third boosted relative to the second, but non collinear with the first boost, then the Lorentz transformation between the first and third frames involves a combined boost and rotation, known as the "Wigner rotation" or "Thomas rotation". For accelerated motion, the accelerated frame has an inertial frame at every instant. Two boosts a small time interval (as measured in the lab frame) apart leads to a Wigner rotation after the second boost. In the limit the time interval tends to zero, the accelerated frame will rotate at every instant, so the accelerated frame rotates with an angular velocity. The precession can be understood geometrically as a consequence of the fact that the space of velocities in relativity is hyperbolic, and so parallel transport of a vector (the gyroscope's angular velocity) around a circle (its linear velocity) leaves it pointing in a different direction, or understood algebraically as being a result of the non commutativity of Lorentz transformations. Thomas precession gives a correction to the spin–orbit interaction in quantum mechanics, which takes into account the relativistic time dilation between the electron and the nucleus of an atom. Thomas precession is a kinematic effect in the flat spacetime of special relativity. In the curved spacetime of general relativity, Thomas precession combines with a geometric effect to produce de Sitter precession. Although Thomas precession (net rotation after a trajectory that returns to its initial velocity) is a purely kinematic effect, it only occurs in curvilinear motion and therefore cannot be observed independently of some external force causing the curvilinear motion such as that caused by an electromagnetic field, a gravitational field or a mechanical force, so Thomas precession is usually accompanied by dynamical effects. If the system experiences no external torque, e. g., in external scalar fields, its spin dynamics are determined only by the Thomas precession. A single discrete Thomas rotation (as opposed to the series of infinitesimal rotations that add up to the Thomas precession) is present in situations anytime there are three or more inertial frames in non collinear motion, as can be seen using Lorentz transformations.
История
Прецессия Томаса в теории относительности была известна уже Людвику Сильберштейну в 1914 году. Однако единственным источником знаний Томаса о релятивистской прецессии была статья де Ситтера о релятивистской прецессии Луны, впервые опубликованная в книге Эддингтона. В 1925 году Томас релятивистски пересчитал прецессионную частоту расщепления уровней в тонкой структуре атома. Таким образом он обнаружил недостающий множитель 1/2, который впоследствии получил название "половина Томаса". Это открытие релятивистской прецессии спина электрона позволило понять значимость релятивистского эффекта. В результате эффект был назван "прецессией Томаса".
Thomas precession in relativity was already known to Ludwik Silberstein, in 1914. But the only knowledge Thomas had of relativistic precession came from de Sitter's paper on the relativistic precession of the moon, first published in a book by Eddington. In 1925 Thomas relativistically recomputed the precessional frequency of the doublet separation in the fine structure of the atom. He thus found the missing factor 1/2, which came to be known as the Thomas half. This discovery of the relativistic precession of the electron spin led to the understanding of the significance of the relativistic effect. The effect was consequently named "Thomas precession".
Определение
Рассмотрим физическую систему, движущуюся в пространстве-времени Минковского. Предположим, что в любой момент времени существует инерциальная система отсчета, в которой система покоится. Это предположение иногда называют третьим постулатом относительности. Это означает, что в любой момент времени координаты и состояние системы могут быть преобразованы в лабораторную систему отсчета посредством некоторого преобразования Лоренца. Пусть на систему действуют внешние силы, не создающие крутящий момент относительно центра масс в её (мгновенной) системе покоя. Условие отсутствия крутящего момента необходимо для выделения явления прецессии Томаса. В качестве упрощения предположим, что внешние силы возвращают систему к её начальной скорости за конечное время. Зафиксируем систему отсчета Лоренца O, в которой начальная и конечная скорости равны нулю. Вектор спина Паули-Любански Sμ определяется как (0, Si) в системе покоя системы, где Si — трёхмерный вектор углового момента относительно центра масс. В процессе движения от начального до конечного положения Sμ претерпевает вращение, наблюдаемое в O, от своего начального значения к конечному. Это непрерывное изменение и есть прецессия Томаса.
Consider a physical system moving through Minkowski spacetime. Assume that there is at any moment an inertial system such that in it, the system is at rest. This assumption is sometimes called the third postulate of relativity. This means that at any instant, the coordinates and state of the system can be Lorentz transformed to the lab system through some Lorentz transformation. Let the system be subject to external forces that produce no torque with respect to its center of mass in its (instantaneous) rest frame. The condition of "no torque" is necessary to isolate the phenomenon of Thomas precession. As a simplifying assumption one assumes that the external forces bring the system back to its initial velocity after some finite time. Fix a Lorentz frame O such that the initial and final velocities are zero. The Pauli–Lubanski spin vector Sμ is defined to be (0, Si) in the system's rest frame, with Si the angular momentum three vector about the center of mass. In the motion from initial to final position, Sμ undergoes a rotation, as recorded in O, from its initial to its final value. This continuous change is the Thomas precession.
В электронных орбиталях
В квантовой механике прецессия Томаса — это поправка к взаимодействию спин-орбиты, учитывающая релятивистское замедление времени между электроном и ядром в водородоподобных атомах. По сути, она заключается в том, что вращающиеся объекты прецессируют при ускорении в специальной теории относительности, поскольку преобразования Лоренца не коммутируют между собой. Для вычисления спина частицы в магнитном поле также необходимо учитывать прецессию Лармора.
In quantum mechanics Thomas precession is a correction to the spin orbit interaction, which takes into account the relativistic time dilation between the electron and the nucleus in hydrogenic atoms. Basically, it states that spinning objects precess when they accelerate in special relativity because Lorentz boosts do not commute with each other. To calculate the spin of a particle in a magnetic field, one must also take into account Larmor precession.
В маятнике Фуко
Вращение плоскости качания маятника Фуко можно рассматривать как результат параллельного переноса маятника в двумерной сфере евклидова пространства. Гиперболическое пространство скоростей в пространстве-времени Минковского представляет собой трехмерную (псевдо)сферу с мнимым радиусом и мнимой временноподобной координатой. Параллельный перенос вращающейся частицы в релятивистском пространстве скоростей приводит к прецессии Томаса, которая аналогична вращению плоскости качания маятника Фуко. Угол поворота в обоих случаях определяется интегралом по площади кривизны в соответствии с теоремой Гаусса — Бонне. Прецессия Томаса вносит поправку в прецессию маятника Фуко. Для маятника Фуко, расположенного в городе Неймеген в Нидерландах, эта поправка составляет:
The rotation of the swing plane of Foucault pendulum can be treated as a result of parallel transport of the pendulum in a 2 dimensional sphere of Euclidean space. The hyperbolic space of velocities in Minkowski spacetime represents a 3 dimensional (pseudo ) sphere with imaginary radius and imaginary timelike coordinate. Parallel transport of a spinning particle in relativistic velocity space leads to Thomas precession, which is similar to the rotation of the swing plane of a Foucault pendulum. The angle of rotation in both cases is determined by the area integral of curvature in agreement with the Gauss–Bonnet theorem. Thomas precession gives a correction to the precession of a Foucault pendulum. For a Foucault pendulum located in the city of Nijmegen in the Netherlands the correction is:
Следует отметить, что она более чем на два порядка величины меньше прецессии, вызванной общей релятивистской поправкой, возникающей из-за увлечения системы отсчета, прецессии Лензе — Тирринга.
Note that it is more than two orders of magnitude smaller than the precession due to the general relativistic correction arising from frame dragging, the Lense–Thirring precession.