Диаграмма Лемерая: визуализация динамических систем
Cobweb plot
Диаграмма Лемэрея (паутина) – визуальный метод в динамических системах для анализа поведения итерационных функций, например логистического отображения.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Схема паутины, также известная как диаграмма Лемера или диаграмма Верхульста, — это визуальный инструмент, используемый в математической области динамических систем для исследования качественного поведения одномерных итерируемых функций, таких как логистическое отображение. Эта техника была предложена в 1890-х годах Э. М. Лемераем. С помощью схемы паутины можно определить долгосрочное поведение начального значения при многократном применении отображения.
A cobweb plot, known also as Lémeray Diagram or Verhulst diagram is a visual tool used in the dynamical systems field of mathematics to investigate the qualitative behaviour of one dimensional iterated functions, such as the logistic map. The technique was introduced in the 1890s by E. M. Lémeray. Using a cobweb plot, it is possible to infer the long term status of an initial condition under repeated application of a map.
Метод
Для данной итерируемой функции график состоит из диагональной линии и кривой, представляющей . Чтобы построить поведение значения , выполните следующие шаги. Найдите точку на кривой функции с абсциссой . У этой точки координаты . Проведите горизонтальную линию от этой точки до диагональной линии. У этой точки координаты . Проведите вертикальную линию от точки на диагонали до кривой функции. У этой точки координаты . Повторяйте, начиная со шага 2, по мере необходимости.
For a given iterated function , the plot consists of a diagonal line and a curve representing To plot the behaviour of a value , apply the following steps. Find the point on the function curve with an x coordinate of This has the coordinates Plot horizontally across from this point to the diagonal line. This has the coordinates Plot vertically from the point on the diagonal to the function curve. This has the coordinates Repeat from step 2 as required.
Интерпретация
На диаграмме Лемерая стабильная фиксированная точка соответствует сегменту лестницы с последовательно уменьшающейся длиной ступеней или внутренней спирали, а нестабильная фиксированная точка – сегменту лестницы с растущими ступенями или внешней спирали. Из определения фиксированной точки следует, что лестницы сходятся к одной точке, в то время как спираль центрируется в точке пересечения графика функции с диагональю y=x. Орбита периода 2 представлена прямоугольником, а циклы большего периода образуют более сложные замкнутые контуры. Хаотическая орбита отображается как "заполненная" область, указывающая на бесконечное множество неповторяющихся значений.
On the Lémeray diagram, a stable fixed point corresponds to the segment of the staircase with progressively decreasing stair lengths or to an inward spiral, while an unstable fixed point is the segment of the staircase with growing stairs or an outward spiral. It follows from the definition of a fixed point that the staircases converge whereas spirals center at a point where the diagonal y=x line crosses the function graph. A period 2 orbit is represented by a rectangle, while greater period cycles produce further, more complex closed loops. A chaotic orbit would show a 'filled out' area, indicating an infinite number of non repeating values.