Введение

Понятие в геометрии

В геометрии площадь, ограниченная окружностью радиуса r, равна πr^(2). Здесь греческая буква π представляет собой постоянное отношение длины окружности любой окружности к её диаметру, приблизительно равное 3,14159. Один из способов вывода этой формулы, восходящий к Архимеду, заключается в рассмотрении окружности как предела последовательности правильных многоугольников с возрастающим числом сторон. Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженной на расстояние от его центра до его сторон, и поскольку последовательность стремится к окружности, соответствующая формула – что площадь равна половине длины окружности, умноженной на радиус, то есть 1/2 * (2πr) * r – справедлива и для окружности.

Терминология

Хотя в неформальной обстановке это часто называют площадью круга, строго говоря, термин «диск» относится к внутренней области, ограниченной окружностью, а термин «окружность» используется исключительно для обозначения границы – кривой, которая сама по себе не занимает площади. Следовательно, «площадь диска» – более точное определение площади, заключенной окружностью.

История

Современная математика может вычислить площадь, используя методы интегрального исчисления или его более развитого ответвления – вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё древними греками. Евдокс из Книда в V веке до н.э. установил, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Архимед, используя инструменты евклидовой геометрии, в своей книге «Измерение круга» показал, что площадь, заключённая внутри круга, равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности круга, а высота – радиусу круга. Поскольку окружность равна 2r, а площадь треугольника – половине основания, умноженной на высоту, то площадь круга равна r². До Архимеда Гиппократ из Хиоса первым показал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра, в рамках своей квадратуры луны Гиппократа, но не определил коэффициент пропорциональности.

Исторические аргументы

Исторически выдвигалось множество аргументов для установления этого уравнения с разной степенью математической строгости. Наиболее известным из них является метод исчерпания Архимеда – одно из первых применений математической концепции предела, а также источник аксиомы Архимеда, которая до сих пор является частью стандартного аналитического подхода к системе действительных чисел. Оригинальное доказательство Архимеда не является строгим по современным меркам, поскольку оно предполагает, что длину дуги окружности можно сравнить с длиной секущей и касательной, а также аналогичные утверждения об площади, считая это геометрически очевидным.

Использование многоугольников

Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженной на апофему. При увеличении числа сторон правильного многоугольника, он стремится к окружности, а апофема – к радиусу. Это позволяет предположить, что площадь круга равна половине длины окружности ограничивающей его окружности, умноженной на радиус.

Доказательство Архимеда

Следуя аргументации Архимеда в трактате «Измерение круга» (ок. 260 г. до н.э.), сравним площадь, заключенную в круге, с прямоугольным треугольником, основание которого равно длине окружности круга, а высота — радиусу круга. Если площадь круга не равна площади треугольника, то она должна быть либо больше, либо меньше. Мы исключаем каждую из этих возможностей методом от противного, оставляя равенство единственным вариантом. Мы используем правильные многоугольники аналогичным образом.

Не больше

Предположим, что площадь C, заключенная кругом, больше площади треугольника T = 1⁄2cr. Пусть E обозначает избыток этой площади. Впишем в круг квадрат так, чтобы его четыре вершины лежали на окружности. Между квадратом и окружностью образуются четыре сегмента. Если общая площадь этих сегментов, G4, больше, чем E, разделим каждую дугу пополам. Это превратит вписанный квадрат в вписанный восьмиугольник и создаст восемь сегментов с меньшей общей площадью, G8. Продолжим деление, пока общая площадь сегментов, Gn, не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника, Pn = C - Gn, должна быть больше площади треугольника. Но это приводит к противоречию, как покажем ниже. Проведем перпендикуляр из центра круга к середине одной из сторон многоугольника; его длина, h, меньше радиуса круга. Пусть также каждая сторона многоугольника имеет длину s; тогда сумма длин всех сторон, ns, меньше длины окружности круга. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников с высотой h и основанием s, то есть равна 1⁄2nhs. Но поскольку h < r и ns < c, площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника, 1⁄2cr, что является противоречием. Следовательно, наше предположение о том, что C может быть больше T, неверно.

Не меньше

Предположим, что площадь, заключенная кругом, меньше площади T треугольника. Пусть D обозначает величину дефицита. Опишите квадрат так, чтобы середина каждой стороны лежала на окружности. Если общая разница в площади между квадратом и кругом, G4, больше, чем D, отсеките углы касательными к окружности, чтобы получить описанный восьмиугольник, и продолжайте отсекать углы, пока разница в площади не станет меньше D. Площадь многоугольника, Pn, должна быть меньше T.

Это также приводит к противоречию. Ибо перпендикуляр к середине каждой стороны многоугольника является радиусом длиной r. И поскольку общая длина сторон больше длины окружности, многоугольник состоит из n одинаковых треугольников с общей площадью, большей чем T. Снова мы получаем противоречие, поэтому наше предположение о том, что C может быть меньше T, также должно быть неверным. Следовательно, площадь, заключенная кругом, должна быть точно равна площади треугольника. На этом доказательство завершено.

Луковица

Используя математический анализ, мы можем суммировать площадь постепенно, разделяя диск на тонкие концентрические кольца, как слои лука. Это метод интегрирования по слоям в двух измерениях. Для бесконечно тонкого кольца "лука" радиуса t, накопленная площадь равна 2t dt, длина окружности кольца, умноженная на его бесконечно малую ширину (это кольцо можно приближенно считать прямоугольником с шириной 2t и высотой dt). Это дает элементарный интеграл для диска радиуса r.

Это строго обосновывается правилом подстановки для многомерных интегралов в полярных координатах. А именно, площадь задается двойным интегралом постоянной функции 1 по самому диску. Если D обозначает диск, то двойной интеграл можно вычислить в полярных координатах следующим образом:

что является тем же результатом, что и полученный выше. Эквивалентное строгое обоснование, не опирающееся на специальные тригонометрические координаты, использует формулу кообласти. Определим функцию Заметим, что ρ является функцией Липшица, градиент которой является единичным вектором (почти всюду). Пусть D – диск в Мы покажем, что , где – двумерная мера Лебега в Предположим, что одномерная мера Хаусдорфа окружности равна , то есть длине окружности радиуса r. (Это можно принять за определение длины окружности). Тогда, согласно формуле кообласти,

Изопериметрическое неравенство

Круг — это замкнутая кривая наименьшей длины, заключающая максимальную площадь. Это известно как изопериметрическое неравенство, которое утверждает, что если гладкая кривая Иордана на евклидовой плоскости имеет периметр C и заключает площадь A (согласно теореме о кривой Иордана), то

Более того, равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда кривая является окружностью, в этом случае и .

Быстрая приближение

Расчеты, которые Архимед использовал для численного приближения площади, были утомительными, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод основан на идеях Виллеброрда Снелла (Cyclometricus, 1621), которые были далее развиты Кристианом Гюйгенсом (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654), и описан в .

Приближение стрелки

Когда нет более эффективных методов определения площади, можно прибегнуть к методу "бросания дротиков". Этот метод Монте-Карло основан на том, что если случайные точки берутся равномерно распределенными по поверхности квадрата, в котором расположен круг, то отношение количества точек, попавших в круг, к общему количеству точек приближенно равно отношению площади круга к площади квадрата. Этот метод следует рассматривать как крайнюю меру для вычисления площади круга (или любой другой фигуры), поскольку для достижения полезной точности требуется огромное количество точек; для получения оценки с точностью до 10−n потребуется примерно 100n случайных точек.

Конечная перестановка

Мы видели, что, разделив диск на бесконечное число частей, мы можем собрать их в прямоугольник. Удивительный факт, открытый относительно недавно, заключается в том, что мы можем разрезать диск на большое, но конечное число частей, а затем собрать их в квадрат той же площади. Это называется задачей Тарского о разрезании круга на части, которые можно сложить в квадрат. Природа доказательства Лачковича такова, что оно доказывает существование такого разбиения (фактически, множества таких разбиений), но не предоставляет никакого конкретного разбиения.

Обобщения

Мы можем растянуть диск, чтобы получить эллипс. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плоскости, оно имеет фактор искажения, который изменит площадь, но сохранит отношения площадей. Это наблюдение можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, исходя из площади единичного круга. Рассмотрим единичный круг, описанный квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс, растягивая или сжимая горизонтальный и вертикальный диаметры до большой и малой осей эллипса. Квадрат переходит в прямоугольник, описывающий эллипс. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, что означает, что отношение площади эллипса к площади прямоугольника также равно π/4. Пусть a и b – длины большой и малой осей эллипса. Поскольку площадь прямоугольника равна ab, площадь эллипса равна abπ/4. Мы также можем рассмотреть аналогичные измерения в более высоких размерностях. Например, мы можем захотеть найти объем внутри сферы. Когда у нас есть формула для площади поверхности, мы можем использовать тот же подход, основанный на последовательном добавлении слоев, который мы использовали для диска.