Кіріспе

Геометриядағы ұғым

Геометрияда радиусы r шеңбермен қоршалған аудан πr^(2) тең. Мұнда грек әрпі кез келген шеңбердің ұзындығының диаметріне тұрақты қатынасын көрсетеді, ол шамамен 3,14159-қа тең. Бұл формуланың Архимедтен бастау алған шығарылуының бір жолы шеңберді жақтары саны артатын тұрақты көпбұрыштардың тізбегінің лиміті ретінде қарастыруды қамтиды. Тұрақты көпбұрыштың ауданы – оның периметрінің жартысы, ортасынан қабырғаларына дейінгі қашықтыққа көбейтілген шама. Ал тізбек шеңберге жақындағандықтан, сәйкес формула – аудан, ұзындығының жартысы, яғни радиусқа көбейтілген шама – шеңбер үшін де қолданылады.

Терминология

Көп жағдайда бұл аймақ шеңбердің ауданы деп аталғанымен, нақты айтқанда "диск" термині шеңбердің ішкі бөлігін білдіреді, ал "шеңбер" сөзі тек оның шекарасын – қисық сызықты – тағайындалады, ол өзі ауданды қамтымайды. Сондықтан, шеңбермен қоршалған ауданды білдіру үшін "диск ауданы" деген сөз тікелейірек болып табылады.

Тарих

Қазіргі заманғы математика интегралды есептеу әдістерін немесе оның одан да күрделі саласы – нақты талдауды пайдаланып ауданды табуға болады. Дегенмен, дискінің ауданы ежелгі гректердің зерттеу нысаны болған. Б.з.б. V ғасырда Книд қалалық Евдокс дискінің ауданы оның радиусының квадратына пропорционалды екенін анықтаған. Архимед «Шеңберді өлшеу» атты еңбегінде Евклид геометриясының құралдарын қолданып, шеңбер ішіндегі ауданның, негізі шеңбердің ұзындығына, ал биіктігі шеңбердің радиусына тең болатын тікбұрышты үшбұрыштың ауданына тең екенін көрсетті. Шеңбердің ұзындығы 2r, ал үшбұрыштың ауданы негізі мен биіктігінің жартысының көбейтіндісіне тең, нәтижесінде дискінің ауданы r2 болады. Архимедтен бұрын Хиос атынан Хиппократ дискінің ауданы оның диаметрінің квадратына пропорционалды екенін бірінші болып көрсеткен, бірақ пропорционалдық коэффициентін анықтамаған.

Тарихи дәлелдер

Тарихи тұрғыдан, теңдеуді орнату үшін математикалық қатаңдықтың әртүрлі деңгейлерінде әртүрлі дәлелдер келтірілді. Олардың ең белгілісі – Архимедтің шектеу әдісі, бұл шек математикалық ұғымының ең ерте қолданылуларының бірі, сондай-ақ Архимед аксиомасының бастауы, ол нақты сандар жүйесін стандартты талдаумен қарастырудың құрамында қала береді. Архимедтің бастапқы дәлелі қазіргі стандарттар бойынша қатаң емес, себебі ол шеңбер доғасының ұзындығын секунта мен жанама сызықтардың ұзындығымен салыстыруға болады деп есептейді, сондай-ақ ауданға қатысты ұқсас тұжырымдарды геометриялық тұрғыдан анық деп қарастырады.

Көпбұрышты пайдалану

Тәртіпті көпбұрыш ауданы – оның периметрінің жартысы, апотемге көбейтілген шамаға тең. Тәртіпті көпбұрыштың қабырғаларының саны артқан сайын, көпбұрыш шеңберге жақындайды, ал апотем радиусқа жақындайды. Осыдан дискінің ауданы, оны шекелейтін шеңбердің ұзындығының жартысы, радиусқа көбейтілген шамаға тең деген қорытынды шығады.

Архимедтің дәлелі

Архимедтің "Шеңберді өлшеу" (б.з.д. 260 ж.) еңбегіндегі дәлелдемесіне сүйене отырып, шеңбердің ішіндегі ауданымен, негізі шеңбердің ұзындығына тең және биіктігі шеңбердің радиусына тең тікбұрышты үшбұрыштың ауданын салыстырыңыз. Егер шеңбердің ауданы үшбұрыштың ауданына тең болмаса, онда ол үлкен немесе кішкентай болуы керек. Біз қарама-қайшылық арқылы осы екі мүмкіндікті де жоққа шығарамыз, соның нәтижесінде теңдік жалғыз қалдырылады. Біз осы әдісті тура сол сияқты дұрыс көпбұрыштар үшін де қолданамыз.

Үлкен емес

Кругпен шектелген C ауданы үшбұрыштың T = 1⁄2cr ауданынан үлкен деп есептейік. E артық мөлшерді белгілейік. Дөңгелекке іштей сызылған, төрт бұрышы дөңгелек бойында жатқан төртбұрыш жасайық. Төртбұрыш пен шеңбердің арасында төрт сегмент орналасқан. Егер осы бос орындардың жалпы ауданы, G4, E-ден үлкен болса, әр доғаны екіге бөліңіз. Бұл іштей сызылған төртбұрышты іштей сызылған сегізбұрышқа айналдырады және жалпы аралық ауданы кішірек сегіз сегмент – G8 шығарады. Жалпы аралық ауданы Gn E-ден кіші болғанша бөлуді жалғастырыңыз. Енді іштей сызылған көпбұрыштың ауданы Pn = C - Gn үшбұрыш ауданынан үлкен болуы керек. Бірақ бұл қарама-қайшылыққа әкеледі, мынадай: Көпбұрыштың бір қабырғасының ортасынан ортасына перпендикуляр түсіріңіз; оның ұзындығы, h, шеңбер радиусынан кіші болады. Сондай-ақ, көпбұрыштың әр қабырғасының ұзындығы s болсын; онда қабырғалардың қосындысы, ns, шеңбер ұзындығынан кіші болады. Көпбұрыштың ауданы h биіктігі мен s табаны бар n тең үшбұрыштардан тұрады, демек 1⁄2nhs-қа тең. Бірақ h < r және ns < c болғандықтан, көпбұрыштың ауданы үшбұрыш ауданынан кіші болуы керек, яғни 1⁄2cr, бұл қарама-қайшылық. Демек, C Т-ден үлкен болуы мүмкін деген болжамымыз дұрыс емес.

Кем дегенде

Доңғалақтың аумағы үшбұрыштың T аумағынан кіші деп есептейік. D дегені – жетіспейтін мөлшер. Әр қабырғасының ортасы шеңберде жататындай етіп, төртбұрыш сызыңыз. Егер төртбұрыш пен шеңбер арасындағы жалпы айырма G4, D-ден артық болса, шеңберге жанама түзулермен бұрыштарды кесіп, сырттай жазылған сегізбұрыш жасаңыз, және айырма ауданы D-ден кіші болғанша кесуді жалғастырыңыз. Көпбұрыштың ауданы Pn, T-ден кіші болуы тиіс. Бұл да қайшылыққа әкеледі. Өйткені, көпбұрыштың әр қабырғасының ортасына түсірілген перпендикуляр – радиус, ұзындығы r. Ал қабырғаларының жалпы ұзындығы шеңбер ұзындығынан артық болғандықтан, көпбұрыш n бірдей үшбұрыштардан тұрады, олардың жалпы ауданы T-ден үлкен. Тағы да қайшылық пайда болды, демек, C-нің T-ден кіші болуы мүмкін деген болжамымыз да дұрыс емес. Сондықтан, шеңбермен қоршалған аудан үшбұрыштың ауданымен дәл тең болуы керек. Осымен дәлелдеу аяқталады.

Бақшаға қарсы

Калькульсті пайдаланып, біз аумақты бірте-бірте жинап, дискіні пияз қабаттары сияқты жұқа концентрлі сақиналарға бөлеміз. Бұл екі өлшемді қабық интеграциясының әдісі. Радиусы t болатын "пияздың" өте жұқа сақинасы үшін жиналған аудан 2t dt болады, яғни сақинаның ұзындығының шеңберлік өлшемі оның шексіз кішкентай еніне (мұны ені 2t және биіктігі dt болатын тіктөртбұрышпен жуықтауға болады) көбейтілгені. Бұл радиусы r дискі үшін элементарлы интеграл береді.

Бұл полярлық координаттардағы көпөлшемді алмастыру ережесімен қатаң негізделеді. Атап айтқанда, аудан дискінің өзіндегі 1 тұрақты функциясының қос интегралы арқылы беріледі. Егер D дискіні білдірсе, онда қос интегралды полярлық координаттарда келесідей есептеуге болады:

Бұл жоғарыда алынған нәтижемен бірдей. Тригонометрияның арнайы координаттарына сүйенбей, дәл сондай қатаң негіздемеде коареа формуласы қолданылады. ρ(x,y) функциясын анықтаңыз: ρ - градиенті дерлік барлық жерде бірлік векторы болатын Липшиц функциясы. D дискі болсын, онда екі өлшемді Лебег өлшемі , ал бір өлшемді Хаусдорф өлшемі радиусы r шеңберінің ұзындығына тең деп аламыз (бұл ұзындықтың анықтамасы ретінде қарастырылуы мүмкін). Содан кейін, коареа формуласымен,

Изопериметриялық теңсіздік

Дөңгелек – ең кішкентай периметрмен ең үлкен аумақты қамтитын жабық қисық. Бұл изопериметриялық теңсіздік деп аталады, ол Евклид жазықтығындағы түзетілетін Джордан қисығының периметрі C және қамтитын ауманы A-ға тең (Жордан қисығы теоремасы бойынша) деп мәлімдейді.

Сонымен қатар, бұл теңсіздікте теңдік тек қана қисық шеңбер болған жағдайда ғана орын алады, онда және .

Тез шамалау

Архимед ауданын сандық түрде шамалау үшін қолданған есептеулер қиынға соқты, ол 96 қабырғалы көпбұрышпен тоқтады. Жылдам әдіс Виллеброрд Снеллдің (Cyclometricus, 1621) идеяларын пайдаланады, оны Кристиан Гюйгенс (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654) одан әрі дамытты, бұл туралы онда сипатталған.

Жебелердің шамалауы

Егер аймақтарды табудың тиімді әдістері қолжетімді болмаса, біз "көзсіз атқылау" тәсіліне жүгінеміз. Бұл Монте-Карло әдісі, егер диск орналасқан квадраттың бетінде біркелкі таратылған кездейсоқ үлгілер алынса, дискке тиген үлгілердің пропорциясы дисктің ауданы мен квадраттың ауданының қатынасын шамалайды. Бұл дисктің (немесе кез келген пішіннің) ауданын есептеудің соңғы шарасы болып саналуы керек, себебі пайдалы дәлдікке қол жеткізу үшін өте көп үлгілер қажет етеді; 10−n дәлдігіне жақсы бағалау үшін шамамен 100n кездейсоқ үлгі қажет.

Шекті қайта орналастыру

Дискті шексіз бөліктерге бөлу арқылы, біз сол бөліктерден тіктөртбұрыш құрастыра алатынымызды көрдік. Бірақ жақында ғана ашылған керемет факт – дискті үлкен, бірақ шекті сандағы бөліктерге бөліп, содан кейін сол бөліктерден тең ауданы бар квадрат жасауға болады. Бұл Тарскидің шеңберді квадратқа айналдыру мәселесі деп аталады. Лацковичтің дәлелі мұндай бөліністің (немесе көптеген мұндай бөліністердің) бар екенін көрсетеді, бірақ нақты бір бөліністің мысалын бермейді.

Жалпылау

Дискіді созып, эллипсті жасауға болады. Бұл созу жазықтықтың сызықтық түрленуі болғандықтан, ол ауданын өзгертетін, бірақ аудандардың қатынасын сақтайтын бұрмалау коэффициентіне ие. Осы байқау бірлік шеңбердің ауданынан кез келген эллипстің ауданын есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Қабырғасы 2-ге тең квадратқа сыйымды бірлік шеңберді қарастырайық. Түрлендіру шеңберді эллипске айналдырады, эллипстің үлкен және кіші осьтеріне сәйкес көлденең және тік диаметрлерін созу немесе қысқарту арқылы. Квадрат эллипсті қоршап тұрған тіктөртбұрышқа айналады. Шеңбердің ауданы мен квадраттың арақатынасы π/4-ке тең, демек эллипс пен тіктөртбұрыштың арақатынасы да π/4-ке тең. Эллипстің үлкен және кіші осьтерінің ұзындығы a және b болсын. Тіктөртбұрыштың ауданы ab болғандықтан, эллипстің ауданы abπ/4-ке тең. Жоғары өлшемдердегі ұқсас өлшемдерді де қарастыруға болады. Мысалы, шардың ішіндегі көлемді табуға болады. Егер бетінің ауданы үшін формула болса, диск үшін қолданғандай, осындай "қабаттасқан" тәсілді қолдануға болады.